4.3. Абсолютная и относительная деформации. Закон Гука. Коэффициент Пуассона

Выделим из стержня на участке, где действует постоянная продольная сила N, некоторую его часть длиной l и шириной b (см. рис. 4.3, а). Опыты показывают, что при растяжении резинового стержня его длина увеличивается, а ширина уменьшается. Пусть l₁ и b₁ – длина и ширина стержня после деформации соответственно.

Изменение длины стержня при растяжении (сжатии) называется абсолютной продольной деформацией и определяется по формуле

∆l = l₁ – l₂.

Отношение абсолютной продольной деформации к первоначальной длине стержня называется относительной продольной деформацией и определяется по формуле

.

По аналогии с продольными деформациями имеем:

∆b = b₁ – b, ∆h = h1 – h – абсолютные поперечные деформации;

– относительные поперечные деформации.

При растяжении: N  0, ∆l  0, ε  0, ∆b < 0, ε^' < 0; при сжатии: N < 0, ∆l < 0, ε < 0, ∆b  0, ε^'  0.

Закон Гука – относительная продольная деформация прямо пропорциональна нормальному напряжению, а именно:

,

где Е – модуль Юнга или модуль упругости первого рода (кН/см², МПа).

Используя зависимости , получим

Абсолютная продольная деформация прямо пропорциональна продольной силе в пределах участка длиной l при постоянных N и EА, где EА – жесткость поперечного сечения при растяжении (сжатии).

Коэффициент Пуассона  – безразмерная величина, характеризующая упругие свойства и способность материала деформироваться в поперечном направлении при его растяжении или сжатии в продольном направлении.

Для реальных материалов коэффициент Пуассона изменяется в очень узких пределах:  = 0…0,5.

Значение  для некоторых материалов:

- пробка – ;

- резина – ;

- сталь – ;

- свинец – ;

- бетон – ;

- каучук –   0,5.

Значение коэффициента Пуассона определяется опытным путем в результате специальных испытаний материала.

4.4. Условия прочности и жесткости

Условие прочности элементов конструкций и сооружений рассмотрено в главе 3.

В некоторых случаях для обеспечения нормальной работы машин, конструкций и сооружений требуется проектировать размеры деталей и элементов таким образом, чтобы обеспечивалось условие жесткости:

,

где – допускаемое удлинение, задается техническими условиями.

Удлинение ступенчатых стержней, а также когда внешние силы приложены в разных точках продольной оси стержня, определяется суммированием удлинений отдельных участков.

,

где N_i, l_i, E_i, А_i – нормальная сила, длина, модуль упругости и площадь поперечного сечения і-го участка соответственно.

Условие жесткости позволяет выполнять три вида расчетов:

1) проверочный: ;

2) проектировочный: (стержень постоянного сечения);

3) расчет грузоподъемности или несущей способности:

.

4.5. Потенциальная энергия упругой деформации

Внешние силы, приложенные к упругому телу и вызывающие изменение его геометрии, совершают работу А_F на соответствующих перемещениях. В упругом теле накапливается потенциальная энергия деформации U. При действии динамических нагрузок часть работы внешних сил превращается в кинетическую энергию движения частиц тела К.

Уравнение баланса энергии можно записать в следующем виде:

А_F = U + K.

При статическом нагружении упругого тела работа внешних сил полностью преобразуется в потенциальную энергию деформации, следовательно, А_F = U. При разгрузке тела производится работа за счет потенциальной энергии деформации, накопленной телом. При этом упругое тело является аккумулятором энергии. Это свойство упругого тела широко используется в заводных пружинах часовых механизмов, в конструкции лука и т. д. Для вывода необходимых расчетных зависимостей потенциальной энергии деформации рассмотрим простейший случай – растяжение стержня.

На рис. 4.5, а изображен стержень, растягиваемый силой F, удлинение которого соответствует l. График изменения величины удлинения стержня l в зависимости от силы F показан на рис. 4.5, б. В соответствии с законом Гука этот график носит линейный характер.

Рис. 4.5. а – схема растягиваемого стержня; б – график зависимости F – ∆l

Пусть некоторому значению силы F соответствует удлинение стержня l. Дадим некоторое приращение силе F  соответствующее приращение удлинения составит d (l ). Элементарная работа на этом приращении удлинения составит:

.

Вторым слагаемым, в силу его малости, можно пренебречь, и тогда

Полная работа равна сумме элементарных работ, тогда при линейной зависимости работа внешней силы F на перемещении l будет равна площади треугольника ОСВ (рис. 4.5, б), т. е.

Если напряжения  и деформации  распределены по объему тела V равномерно, то потенциальную энергию деформации стержня можно записать в следующем виде:

,

где V = А l, F =   A,  = Е ;

А – площадь поперечного сечения стержня.

Тогда окончательно

.

С учетом для однородного стержня с постоянным попе­речным сечением при F = const получим:

.