56. Оптимальная норма накопления

В §5 был исследован вопрос о поведении траектории однопродуктовой макромодели в том случае, когда норма накопления – заданная постоянная величина. Эта норма может быть выбрана различной по значению, что, разумеется, сказывается на характеристиках роста макроэкономических показателей. Важнейшим из таких показателей, с точки зрения потребителя, является удельное потребление . Согласно формуле (15)

(25), где - норма накопления, - фондовооруженность.

Из полученных выше результатов следует, что при расчете экономических показателей для достаточно больших значений времени может быть использован режим сбалансированного роста.

На траекториях сбалансированного роста фондовооруженность постоянна, а значит будет постоянным и удельное потребление . Поставим перед собой задачу отыскания таких значений , при которых удельное потребление (25) максимально. Величины называют оптимальной нормой накопления и оптимальной фондовооруженностью.

Рассмотрим сначала модель без учета запаздывания при освоении капиталовложений. В этом случае норма накопления и фондовооруженность при сбалансированном росте связаны между собой уравнением (20). Таким образом, мы приходим к задаче отыскания точки максимума функции (25) при ограничении (20) и естественных условиях .

Из уравнения (20) следует, что (26)

Тогда удельное потребление как функция фондовооруженности задается формулой

(27)

имеет те же свойства, что и (21), а именно, это строго вогнутая функция, принимающая положительные значения на некотором интервале (ссылка на старый рисунок, ТРИ).

Поскольку только положительные значения имеют экономический смысл, то фондовооруженности , которые возможны при сбалансированном росте, заполняют интервал . То, что фондовооруженности не могут быть сколь угодно большими на неформальном языке можно объяснить следующим образом: при фонды должны возрастать слишком быстро. Для этого потребуется настолько много инвестиций, что они будут просто превышать выпуск продукта.

Очевидно, максимум функции достигается в единственной точке , которая является корнем уравнения или, что то же самое, (28)

Поскольку функция убывает, это уравнение имеет единственный корень. Согласно (26), оптимальная норма накопления равна (29).

Пусть - максимальное удельное потребление. Заметим, что любое меньшее удельное потребление достигается при двух значениях фондовооруженности (или накопления). Одно из них меньше оптимального, а другое – больше (рисунок). Обсудим это весьма интересное обстоятельство.

Как уже отмечалось, фонды (капитал) предназначены для производства предметов потребления в будущем, представляя собой как бы отложенные потребления. Однако может случиться так, что фонды будут воспроизводить как бы самое себя, «забыв» о своем предназначении. Для наглядности рассмотрим следующую ситуацию: добывая уголь и руду, мы производим из них металл. Часть этого металла пойдет на производство ложек и вилок, часть - на производство машин для добычи угля и руды. Но те же ложки и вилки можно сделать гораздо меньшими усилиями, не добывая так много руды и угля и не производя поэтому так много машин для их добычи.

Итак, одно и то же потребление можно обеспечить при очень большом объеме инвестиций, которые предназначены прежде всего для усиления воспроизведения фондов, и при сравнительно малом объеме, когда фонды в таком количестве не создаются.

В случае функции Кобба-Дугласа и уравнение (28) для нахождения оптимальной фондовооруженности принимает вид ,

Откуда , откуда оптимальная норма потребления .

В однопродуктовой модели с запаздыванием (конспект семинарских занятий) задача об оптимальной норме накопления сводится к нахождению точки максимума функции (25) в области при ограничении (30)

Тогда удельное потребление как функция фондовооруженности имеет вид

(31)

Функция отличается от (27) только коэффициентами при , поэтому эти функции имеют одинаковые свойства.

Оптимальная фондовооруженность , доставляющая максимум функции (31), является решением уравнения или, что то же самое, (32)

Согласно (30), оптимальная норма накопления задается формулой

(33)

Как и в предыдущей модели, если удельное потребление меньше максимального , то оно достигается при двух значениях фондовооруженности (нормы накопления) (рис ЧЕтыРЕ).

В случае функции Кобба-Дугласа уравнение (32) принимает вид

, откуда

Подставив это значение в (33), получим после преобразований , что совпадает с оптимальной нормой накопления в модели без запаздывания.

Заметим, что для других производственных функций такой факт, вообще говоря, не имеет место.