- •1. Действующие лица экономики и их цели
- •1º Производители и потребители.
- •2º Цели потребителя.
- •3º Цели производителя.
- •3. Факторы производства
- •4. Закон убывающей доходности
- •12. Механизм прямого управления.
- •5. Модели экономических систем
- •6. Рынок, деньги и цены.
- •7. Спрос.
- •8. Предложение.
- •20. Денежная масса, номинальная и реальная заработная плата
- •9. Рынок как автоматический регулятор.
- •Равновесие спроса и предложения в условиях совершенной конкуренции
- •2. Воспроизводство.
- •10. Оценка роли рыночной системы.
- •11. Роль государства в регулируемой децентрализованной экономике.
- •13. Международная торговля и системы валютных курсов
- •14. Таможенные барьеры
- •36. Сравнительная статика модели Кейнса. Изменение предложения денег.
- •15. Макро- и микротеория. Агрегирование
- •16. Износ. Амортизация и инвестиции
- •19. Ценные бумаги
- •Облигации
- •17. Измерение объема национального производства и национального дохода
- •18. Сбережения и норма процента. Дисконтирование
- •21. Производственная функция
- •24. Классическая теория. Рынок капитала (сбережений и инвестиций)
- •Предложение капитала
- •Спрос на капитал
- •Равновесие на рынке капитала
- •23. Классическая теория. Рынок труда
- •Предложение труда
- •Спрос на труд
- •Равновесие на рынке труда
- •22. Макроэкономические теории
- •25. Классическая теория. Денежный рынок
- •26. Краткий обзор классической теории
- •27. Сравнительная статика
- •28. Критика классической теории
- •29. Теория Кейнса. Склонность к потреблению
- •Спекулятивный спрос на деньги
- •31. Теория Кейнса. Рынок труда
- •35. Теория Кейнса. Инфляция и безработица
- •32. Теория Кейнса. Рынок капитала (сбережений и инвестиций)
- •33. Краткая формулировка модели Кейнса и определение равновесия
- •34. Существование и единственность равновесия в модели Кейнса
- •42. Сравнительная статика модели Кейнса. Фискальная политика.
- •37. Сравнительная статика в модели Кейнса. Изменение функций инвестирования (I) и сбережения (s).
- •39. Сравнительная статика модели Кейнса. Изменение номинальной зарплаты
- •38. Сравнительная статика модели Кейнса. Изменение производственной функции.
- •40. Роль государства в модели Кейнса
- •41. Мультипликатор Кейнса
- •43. Критика теории Кейнса. Понятие о монетаризме.
- •44. Макроэкономическая динамика и воспроизводство
- •45. Экономические циклы.
- •46. Стабильное население
- •47. Стабилизация населения
- •Влияние нтп на возникновение экономических циклов
- •48. Демографический переход и демографический взрыв. Теория Мальтуса
- •49. Однопродуктовая макроэкономическая модель
- •50. Независимость производственного процесса от масштаба
- •51. Модель Солоу
- •52. Сбалансированный рост
- •53. Асимптотическое поведение траектории в модели Солоу
- •54. Моделирование запаздывания при освоении капиталовложений
- •55. Сбалансированный рост в однопродуктовой макродинамической модели с запаздыванием
- •57. Рост и нтп
- •59. Отношение предпочтения и функция полезности
- •56. Оптимальная норма накопления
- •58. Была ли необходима перестройка экономики в ссср?
- •60. Неоклассическая задача потребления
- •63. Задача максимизации прибыли фирмы в условиях совершенной конкуренции
- •61. Ценовая эластичность спроса.
- •62. Производственная функция фирмы
- •64. Несовершенная конкуренция. Монополия и монопсония
- •65. Конкуренция среди немногих. Олигополия, олигопсония
- •Список основных макроэкономических элементов
51. Модель Солоу
Для математического исследования динамической модели, построенной в §1, перейдем к относительным переменным
(11)
Производительность труда и фондовооруженность были введены в рассмотрение в предыдущем пункте. Величина есть потребление на одного рабочего. Ее называют удельным потреблением. Если считать, что величина потребления полностью совпадает (в денежном выражении) с общей массой зарплаты, то совпадает с . Величина представляет собой долю произведенного продукта, вкладываемую в расширение производства, и называется нормой (долей) накопления. Как отмечалось в §1, для замыкания однопродуктовой динамической модели надо в частности задать закон изменения численности занятых . Сейчас мы обсудим один из возможных вариантов.
На семинарских занятиях мы выяснили, что при отсутствии воин, эпидемий, притока или оттока беженцев и других потрясений население с течением времени стабилизируется. Сделав такое допущение, можно считать, что численность населения изменяется с постоянным темпом, т.е. по экспоненциальному закону. То же самое можно сказать и о численности активного населения, поскольку оно составляет фиксированную долю от численности населения в трудоспособном возрасте.
Предположим, что экономика развивается в условиях полной занятости или с постоянным уровнем безработицы (с постоянным процентом безработных). Тогда и численность занятых будет изменяться с постоянным темпом.
Под темпом роста непрерывной величины понимают (12).
Если ,
В дальнейшем будем считать, что речь идет о росте в буквальном понимании этого слова, т.е. . В силу (4), уравнение (2) может быть записано в следующем виде: (13)
Отсюда и из (11) следует .
Разделив обе части этого равенства на , с учетом (12) будем иметь . Используя формулу (8) приходим к дифференциальному уравнению, которое называют моделью Солоу:
(14)
Как видно из формул (4) и (11), (15)
С учетом этого уравнения получим (16).
Дифференциальное уравнение первого порядка относительно фондовооруженности.
Если задана норма накопления , то по решению уравнения (16) можно легко найти макропеременные . Действительно, если , то .
Вычислив по формулам (8-15) , можно получить и остальные макропеременные: , , .
52. Сбалансированный рост
Под сбалансированным ростом понимается такой процесс экономического развития, при котором основные макропоказатели растут с постоянным темпом. Применительно к рассмотренной модели, это означает, что с постоянным темпом должны возрастать величины . При сделанном в предыдущем параграфе предположении, будет обладать таким свойством: обозначим – темпы роста первых четырех показателей, и сохраним принятое обозначение для темпа роста рабочей силы. Тогда
, , , , (17)
Покажем, что в этом случае темпы роста всех показателей должны совпадать. В силу (2) и (17) имеем: . Отсюда, учитывая, что , получаем . Из (13) и (17): (18)
Разделив обе части этого тождества на будем иметь
После дифференцирования по времени получаем
. Это тождество при , что эквивалентно . ().
Отсюда и из (18) получаем , что может иметь место лишь в случае .
Сопоставляя полученные соотношения между темпами роста, приходим к выводу, что . Покажем, что все эти величины равны - темпу роста рабочей силы. Поскольку величины связаны производственной функцией, то . Используя линейную однородность производственной функции, получаем . Т.к. , то отсюда следует .
Производственная функция монотонно возрастает по каждому аргументу, поэтому полученное тождество может выполняться лишь в том случае, когда есть константа, т.е. . Таким образом, , что и требовалось доказать.
Итак, при сбалансированном росте темпы изменения основных макропоказателей должны быть одинаковы. Отсюда, в частности, следует, что при сбалансированном росте норма накопления и фондовооруженность не зависят от времени. Это означает, что траектории сбалансированного роста отвечает решение дифференциального уравнения Солоу (16), имеющее вид . Найдя такое решение, можно легко определить основные макропеременные:
(19)
Покажем, что рассматриваемые модели для каждой фиксированной постоянной нормы накопления существует единственная траектория сбалансированного роста.
Постоянное решения дифференциального уравнения (16), соответствующее сбалансированному росту, обращает левую часть этого уравнения в нуль, то есть является корнем следующего конечного уравнения: (20)
Покажем, что при заданном постоянном значении нормы накопления уравнение (20) имеет в области (только такие значения имеют экономический смысл) единственное решение. Для этого исследуем свойства функции
(21)
Поскольку (см § 2), то . В силу (10) имеем
Отсюда, в частности, следует, что в некоторой правосторонней окрестности нуля функция принимает положительные значения.
Далее, из (9) следует . Тогда при достаточно больших . Сопоставляя полученные результаты, приходим к тому, что в некоторой точке функция обращается в ноль. Осталось доказать единственность.
Поскольку (см пар 2), то и , то есть - строго вогнутая функция. Тогда, как легко убедиться, она не будет иметь положительных нулей, отличных от . Возможный график этой функции приведен на рисунке «Муравейник».
Итак, при фиксированной постоянной норме накопления уравнение (20) имеет в области единственное решение, т.е. в рассматриваемой модели существует единственная траектория сбалансированного роста при каждом .
Замечание. Легко видеть, что чем больше норма накопления, тем больше фондовооруженность на траектории сбалансированного роста.