21. Производственная функция
В
дальнейшем мы будем рассматривать
модели, в которых участвуют либо ВНД
(валовой национальный доход), либо
национальный доход. Как уже отмечалось,
эти величины возникают в результате
взаимодействия трех факторов производства:
рабочей силы (
),
капитала (
)
и земли (
).
Сказанное позволяет считать, что
существует функциональная зависимость,
устанавливающая величину выпуска
продукта при том или ином объеме этих
факторов:
.
Здесь
– объем продукта (в зависимости от
рассматриваемой модели, ВНД или
национального дохода).
В
тех моделях, которые мы будем рассматривать,
земля считается постоянным неизменным
фактором, поэтому производственная
функция рассматривается как функция
лишь 2-х аргументов:
Производственная
функция отражает лишь технологические
возможности экономики. Поскольку без
капитала и рабочей силы невозможен, то
.
Иногда,
чтобы выяснить влияние на выпуск именно
рабочей силы, считают, что капитал не
изменяется:
.
В этом случае производственная функция
будет зависеть лишь от
,
.
И обратно, если зафиксировать
,
то
.
Понятно, что
;
– неубывающие функции.
В
дальнейшем будем считать, что эти
функции возрастают,
непрерывны и, кроме того, дифференцируемы
в любой внутренней точки их области
определения. В силу закона убывающей
доходности (см п5 семинара) они должны
быть вогнутыми. Убедимся в этом,
рассмотрев функцию
:
Отсюда в частности:
При
достаточно малых
(при достаточно больших
)
величина
будет
достаточно малой, тогда из последнего
неравенства получаем
,
то есть
–
невозрастающая функция, и значит
– вогнутая.
Более
того, существует такое число
,
что в области
функция
будет строго вогнутой. Чтобы убедиться
в этом, достаточно показать, что ф-ция
является убывающей для достаточно
больших
.
Предположим противное; тогда найдется
отрезок
,
где
const.
Тогда, ф-ция
на промежутке
будет линейной, и, как следствие,
C
другой стороны, согласно закону об
убывающей доходности, для достаточно
больших
при любых
должно быть строгое неравенство.
Показанное противоречие доказывает
неравенство.
Возможные
Графики
Y(L)
изображены на рисунке «ромашка».
Замечание.
Функции
,
не обязаны быть строго
вогнутыми при достаточно больших
значениях аргументов, если они не
являются возрастающими. Так например
функция, изображенная на рисунке
«тапочек»
соответствует закону об убывающей
доходности.
Вопрос о построении производственных функций не входит в нашу цель. Отметим лишь, что часто рассматривают производственные функции следующих видов:
-
Функция Кобба-Дугласа:
-
Функция с постоянной эластичностью замены:
24. Классическая теория. Рынок капитала (сбережений и инвестиций)
На рынке капитала, как и на рынке труда, предполагается наличие свободной конкуренции. Потребитель на этом рынке предлагает свои сбережения для использования их в качестве капиталовложений (инвестиций). Спрос на капиталовложение предъявляют производители. При этом принимается гипотеза, что как предложение капитала (сбережения), так и спрос на капитал (инвестиции) определяются лишь нормой процента. Таким образом, норма процента выступает на рынке капитала в той же роли, что и цена на рынке одного товара.