Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Шпора.docx
Скачиваний:
24
Добавлен:
19.12.2018
Размер:
2.95 Mб
Скачать

60. Неоклассическая задача потребления

В этом параграфе мы будем изучать поведение потребителя, стесненного бюджетными ограничениями. Будем предполагать, что каждый товар имеет некоторую цену, а потребитель обладает определенной суммой денег, тратя которые на приобретение товаров, он стремится к максимизации своей функции полезности. Считаем, что область определения функции полезности совпадает с , а сама эта функция имеет непрерывные частные производные по каждому аргументу в тех точках, в которых эти производные имеют смысл (а не имеет смысла там, где координата равна нулю). Величину называют предельной полезностью -го товара в наборе . Из аксиомы ненасыщения следует, что предельные полезности неотрицательным. Мы потребуем более сильного условия, предполагая что все предельные полезности положительны. Пусть - сумма денег, которой располагает потребитель. Допуская определенную вольность речи, будет называть ее капиталом. Пусть далее - вектор цен, где - цена -го товара. Будем считать, что . Бюджетные ограничения, отражающие то обстоятельство, что общие расходы потребителя не могут превысить его капитала, запишется в виде или в векторной форме . Множество называют допустимым множеством потребителя, а - бюджетной линией.

Неоклассическая задача потребления заключается в выборе такого набора из допустимого множества , который является самым предпочтительным, то есть для всех остальных наборов выполняется соотношение . В терминах функции полезности задача формулируется следующим образом:

(1)

Задача (1) является задачей нелинейного программирования с функциональными ограничениями типа неравенств, и в частности задачей выпуклого программирования, если вогнутая функция. Такие задачи исследуются в курсе «методы оптимизации». Известное из курса математического анализа классическое правило множителей Лагранжа справедлива для задач с ограничениями типа равенств, и к задаче (1) непосредственно применяться не может. Тем не менее, как сейчас будет показано, этот результат оказывается полезным и в данном случае.

Прежде всего заметим, что задача (1) имеет решение, поскольку допустимое множество потребителя представляет собой компакт. Из аксиомы ненасыщения следует, что решение лежит на бюджетной линии. Таким образом, задача (1) эквивалентна следующей задаче:

(2)

Пусть - решение задачи (2) (а значит и (1)). , . Обозначим через вектор, компоненты которого и индексами из множества (?) фиксированы и равны нулю. Легко видеть, что будет точкой локального максимума в следующей задаче:

. Для такой задачи уже применима классическая функция множителей Лагранжа

Согласно классическому правилу множителей Лагранжа, существует такое число , что . Эти равенства эквивалентны следующим:

(3)

Поскольку предельные полезности и цены положительны, то из (3) получаем: . Таким образом, предельные полезности приобретаемых товаров в оптимальном наборе пропорциональны ценам товаров.

Этот факт был подмечен довольно давно. Некоторые экономисты пытались использовать его для обоснования того, что цены определяются предельными полезностями. Разумеется, связь между ценами и полезностью товаров существует, но не такая прямая. Трактовать формулу (3) подобным образом некорректно. При выводе этой формулы мы считали, что цены уже заданы, и потребитель подстраивается под имеющиеся цены при достижении своей цели.