§ Непрерывность элементарных функций

- Базисные (основные) элементарные функции это - константы, степенные, показательные, логарифмические, тригонометрические функции и функции обратные к ним.

- Элементарные функции это функции, полученные из базисных элементарных функций с помощью конечного числа операций (арифметических действий) и суперпозиций.

• Элементарные функции непрерывны в области определения.

Чрезвычайно важный факт, который будет доказан по мере расширения наших знаний по теории непрерывных функций. А пока несколько примеров.

Примеры элементарных функций:

1°. f (x) = | x | = ;

2°. f (x) = ;

3°. f (x) = ;

и

Примеры неэлементарных функций:

1°. f (x) = [x] ; Целая часть x - наибольшее целое число не превосходящее x.

Функция имеет точки разрыва при целочисленных значениях x.

2°. f (x) = {x} = x-[x] ; Дробная часть x. Также разрывна в целочисленных точках.

3°. f (x) = sgn x = .

И маленькое примечание: функции f (x) = [x], f (x) = {x} и f (x) = sgn x не элементарные, а функция f (x) = элементарная.

§ Предел последовательности

Def. Вещественно-значная функция натурального аргумента называется последовательностью.

f : N ® R - каждому натуральному числу n ставится в соответствие x_n= x(n).

Обозначается {x_n } или просто {x_n }.

x_n - элемент последовательности. Величина x_n= x(n) рассматриваемая как функция от n, называется общим членом последовательности.

Единственная точка сгущения у последовательности : +¥.

Def. bÎ, :Û "e>0 $ N(e) | "n > N | x_n-b | < e. или

bÎ, :Û "U_b $ N | "n > N x_nÎU_b.

• Если последовательность имеет предел то она называется сходящейся, иначе - расходящейся.

• Предел последовательности зависит от поведения в произвольно малой окрестности +¥ (т.е. при достаточно больших n), и не изменится если поменять (или вообще отбросить или добавить ) любое конечное число членов.

Примечание. Учитывая, что у последовательности, единственной точкой сгущения является +¥ , в обозначении предела можно не указывать, что n ® +¥.

Примеры:

1°. =1.

Действительно отметим, что: x₁ = 0, x₂ = 3/2, x₃ = 2/3, x₄ = 5/4, ….

А теперь: "e>0 | x_n-b | = | | = < e

т.е. "e>0 $ N(e) = | "n > N | x_n-b | < e.

2°. Нетрудно понять, что не существует.

3°. (если q > 1).

В самом деле, если q = 1 + D (где D>0)

то qⁿ = (1+D)(1+D)(1+D)…..= 1 + nD + > 1+nD > e.

Раздел 3. Бесконечно малые и др. Величины § определения, терминология и примеры

Def. Величина f (x) называется бесконечно малой при xa, если .

(Обозначается : f (x) =  (1), читается : f (x) есть О-малое от единицы или f (x) есть бесконечно малая величина).

f (x) =  (1) :  a  D(f )  x   f (x)   .

*. Cуществование конечного предела равносильно утверждению, что функция есть бесконечно малая величина при x a.

*. Если то , где  (x) =  (1) при x a.

Примеры :

1⁰. . Для указанной функции f (x) =  (1) при .

2⁰.. Для данной последовательности x_n =  (1) при n .

Def. Если , то величина называется бесконечно большой величиной.

*. Если функция имеет предел равный + или -, то она является бесконечно большой, но бесконечно большая величина не обязательно стремиться к бесконечности определенного знака, т.е.: .

Примеры :

1⁰. Для данной последовательности бесконечно большая величина.

2⁰. . Элементы этой последовательности 1, 2, 1/3, 4, 1/5, 6,…

Величина не ограниченна, хотя бесконечно большой не является.

Def. Числовая функция называется ограниченной сверху, снизу, ограниченной если таковым является её множество значений.

ограничена сверху M

ограничена снизу m

ограничена m,M

A

неограничена сверху

неограничена снизу

неограничена

.

Def. Числовая функция называется ограниченной …. на множестве , если таковым является её сужение на множество .

Сужение : f (x)_X = f (x) ).

Def. Функция называется (финально) ограниченной … в точке сгущения её области определения если на которой функция ограничена …

f (x) ограничена …  ограничена в любой точке и на любом множестве.

f (x) неограничена … в некоторой точке или на некотором множестве

 неограниченна.

В данном определении вместо многоточия указывается характер ограниченности (сверху, снизу, … ).

Ограниченность функции обозначается f (x) = O (1), (читается : f (x) есть О-большое от единицы или f (x) есть ограниченная величина).

Примеры :

1⁰. .

ограничена сверху, снизу, ограничена сама по себе, в любой точке на любом множестве.

2⁰. .

На (0,1)  ограничена снизу, неограниченна сверху.

На [1,100)  ограничена сверху, ограничена снизу, ограничена.

На [-1,1]  неограничена сверху, неограничена снизу, неограничена.

Def. Величина называется отделенной от нуля если

Def. Функция называется отделенной от нуля на множестве если таково её сужение на .

Def. Функция финально отделена от нуля в точке если такая, что функция отделена от нуля в этой проколотой окрестности.

*. Функция отделена от нуля отделена от нуля на любом подмножестве и в любой точке. Но…отделена от нуля в каждой точке не обязательно отделена от нуля.

*. Ненулевая бесконечно малая не отделена от нуля.

*. Функция, имеющая в точке ненулевой предел финально отделена от нуля в этой точке.

*. Если отделена от нуля  ограничена.

Примеры :

1⁰. ² (место для рисунка) отделена от нуля.

2⁰. f (x) = x² Для x  0 функция финально отделена от нуля.

§ Леммы о бесконечно малых

1⁰.Сумма конечного числа бесконечно малых есть величина бесконечно малая.

2⁰.Произведение бесконечно малой на ограниченную есть величина бесконечно малая.

3⁰.Величина арифметически обратная к бесконечно большой есть бесконечно малая, а арифметически обратная к бесконечно малой есть бесконечно большая.

∆ 1⁰. Пусть  точка сгущения для D(f ) и D(g) и, кроме того f (x) =  (1) и g(x) =  (1).

Тогда ,

и .

Теперь возьмём .

Получим

что и т. д.

2⁰.Теперь пусть g(x) = О (1) и f (x) =  (1) .

А ,

.

Вновь возьмём .

Тогда

что и т. д.

3⁰. f (x) =  (1) . Получаем

. что и т. д. ▲

§ Теоремы о пределах. Неопределенности

Т. Если существуют и конечны пределы стоящие справа в следующих равенствах, то также существуют и конечны пределы, стоящие слева и равенства выполняются :

1⁰.,

2⁰.,

3⁰. если .

∆ 1⁰. Пусть , .

Тогда и , где .

Следовательно и (x) бесконечно мала .

Значит .

2⁰,3⁰ доказываются аналогично. ▲

Т. (о пределе сложной функции).

Пусть ; . Тогда .

∆ По условию теоремы  U_c ,

 U_b .

Получаем

U_c

что и т. д.▲

Def. Действия с несобственными элементами :

* * *

* * *

* (если ) *

* е. , е.

* * е. * е., е. .

∆. Докажем например что

Пусть и

Тогда ,

и .

Теперь возьмём .

Получим

что и т. д.

аналогично доказываются остальные соотношения.▲

Введя операции над несобственными элементами, обратим внимание на то, что не всяким действиям с несобственными элементами даны определения. В таких случаях говорят, что мы имеем дело с неопределенностями. Неопределенностями они называются потому, что результат этих действий может быть различным в зависимости от величин учавствующих в операции.

Рассматривается (пока) четыре типа неопределённостей:

, 0, , .

Первые две неопределённости сводятся, путем арифметических преобразований, к последним двум, а для раскрытия последних двух предназначено правило Лопиталя:

Правило Если функции и обе стремятся к нулю или бесконечности, то предел отношения функций равен пределу отношения производных этих функций, если предел стоящий справа существует и конечен.  . ∆ ▲

Конечно, такая формулировка правила Лопиталя, мягко говоря, оставляет желать лучшего. Аккуратная формулировка и доказательство этого, очень важного и удобного в применении правила будет приведено несколько позже, по мере нашей готовности к этому. Формулировка же приводится для того, чтобы позволить применять это правило, пусть и в весьма приблизительном виде, для вычисления пределов.