§ Расположение точек относительно множества

Def. Точка а называется внутренней точкой множества М, если она входит в множество М вместе с некоторой своей окрестностью: $U_a | U_a Ì М.

- множество всех внутренних точек множества М называется внутренностью множества ( ).

- множества совпадающие со своей внутренностью называются открытыми, т.е. множество является открытым если все его точки внутренние ( пример открытого множества - интервал).

Def. Точка а называется точкой прикосновения множества М, если любая ее окрестность имеет точки общие с множеством М : "U_a | U_a Ç М ¹ Æ.

- совокупность точек прикосновения множества называется замыканием множества. ( ).

- множество совпадающее со своим замыканием называются замкнутым ( пример замкнутого множества - сегмент).

Def. Точка а называется точкой сгущения множества М (предельной точкой), если любая ее проколотая окрестность имеет с М общие точки: " | Ç М ¹ Æ.

- множество всех предельных точек множества М называется производным множеством ( ).

Def. Точка а называется изолированной точкой множества М , если существует ее окрестность не имеющая с М общих точек, кроме точки а:

$U_a | U_a Ç М = { a } aÎM $ | Ç М = Æ.

Def. Точка а называется граничной точкой множества М , если любая ее окрестность имеет точки принадлежащие множеству М и точки не принадлежащие множеству М :

"U_a | $xÎU_a Ç М Ù $yÎU_a | yÏ М .

- совокупность граничных точек множества называется границей множества.

Def. Точка а называется внешней точкой множества М, существует ее окрестность, не имеющая с множеством общих точек : $U_a | U_a Ç М = Æ.

Кроме того, числовая прямая обладает двумя важнейшими свойствами, принятыми в качестве аксиом:

1°. Полуотделимость точек - "a, b Î R Ù a ¹ b $U_a | b Ï U_a .

2°. Отделимость точек - "a, b Î R Ù a ¹ b $U_a , $U_b | U_a Ç U_b = Æ.

§ Предел функции по коши Рассматриваются числовые функции числового аргумента:

f : D ( f ) ® E( f ) ; D ( f ) Ì R, E( f ) Ì R,

g : D ( g ) ® E( g ) ; D ( g ) Ì R, E( g ) Ì R.

Операции над числовыми функциями числового аргумента вводятся поточечно, т.е.

1°. ( f + g)(x) º f (x) + g(x), D( f + g) = D( f ) Ç D( g);

2°. ( af )(x) º af (x) , D( af ) = D( f ) ;

3°. ( f × g)(x) º f (x) × g(x), D( f × g) = D( f ) Ç D( g);

4°. ( f ¤ g)(x) º f (x) ¤ g(x), D( f ¤ g) = D( f ) Ç D( g) \ { x| g(x) = 0 };

5°. ( f ○ g)(x) º f ( g(x)), D( f ○ g) = D( g )\ { x| g(x) ÏD( f ) };

Последнее равенство определяет суперпозицию двух функций f и g.

Теперь дадим определение предела числовой функции. Мы приведем несколько определений, которые эквивалентны, но сформулированы с применением несколько различных форм записи:

Def. Число b называется пределом функции f (x) при x стремящемся к a, где a точка сгущения области определения функции f (x) , если для любой окрестности U_b точки b найдется проколотая окрестность точки a, образ которой содержится в заданной окрестности точки b f () Ì U_b.

f (x) = b : Û aÎD( f )¢ Ù "U_b $ | f () Ì U_b.

Def. Еще одно определение предела функции:

f (x) = b : Û aÎD( f )¢ Ù "U_b $ "xÎD( f ) Ç Þ f (x) Ì U_b.

Def. То же самое:

f (x) = b : Û aÎD( f )¢ Ù "U_b $ "xÎD( f ) xÎ Þ f (x) Ì U_b.

Def. И вновь:

f (x) = b : Û aÎD( f )¢ Ù "e>0 $d>0 | "xÎD( f ) 0 < |x-a| < d Þ | f (x) -b| < e.

Def. И, наконец, определение предела функции для несобственных элементов:

* если aÎR, b= ¥ : aÎD( f )¢ Ù "U_b $ | f () Ì U_b

aÎD( f )¢ Ù "e $d>0 | "xÎD( f ) 0 < |x-a| < d Þ | f (x) | > e.

* если aÎR, b= -¥ : aÎD( f )¢ Ù "U_b $ | f () Ì U_b

aÎD( f )¢ Ù "e $d>0 | "xÎD( f ) 0 < |x-a| < d Þ f (x) < e.

* если a = ¥ , bÎR : aÎD( f )¢ Ù "U_b $ | f () Ì U_b

aÎD( f )¢ Ù "e >0 $d | "xÎD( f ) | x| > d Þ | f (x) -b | < e.

* если a= +¥ , bÎR : aÎD( f )¢ Ù "U_b $ | f () Ì U_b

aÎD( f )¢ Ù "e >0 $d | "xÎD( f ) x > d Þ | f (x) -b | < e.

Примечание: Предел функции определяется поведением функции в произвольно малой проколотой окрестности предельной точки и не зависит ни от частного значения функции в предельной точке ни от поведения функции вне произвольно малой окрестности предельной точки.

Примечание: Два слова о существовании и не существовании предела функции:

$f (x) : Û $bÎ, R | f (x) = b;

Ø$f (x) : Û Ø$bÎ, R | f (x) = b;