§ Еще несколько полезных разложений.

6. x₀ = 0

.

Может быть получено из формулы для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии или из известного разложения .

Область сходимости ряда x  (–1, 1).

7. , x₀ = 0.

Получено из формулы для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Область сходимости: x  (–1, 1).

8. ; , x  [–1, 1].

При этом: (2n)!! = 2  4  6  ...  (2n); (2n+1)!! = 1  3  5  …  (2n + 1).

0!!  1; (–1)!!  1; (–3)!!  – 1.

(2n + 1)! = (2n + 1)!!  (2n)!! = (2n + 1)!!  n!  2ⁿ.

9.

, (|x| < 1).

10. , (|x| < 1).

11. , (|x| < 1).

РАЗДЕЛ. Изучение свойств функций с помощью производных

§ Необходимое и достаточное условие постоянства функции,

дифференцируемой на промежутке.

Т. Функция f (x) непрерывная на [a,b] и дифференцируемая на (a,b) постоянна тогда и только тогда когда ее производная равна нулю.

 1) f (x) = const  .

2)  , (по теореме Лагранжа) 

f (x₁) – f (x₂) = (x₁ – x₂) f () = 0  f (x₁) = f (x₂). ▲

§ Условие неубывания (невозрастания) функции.

Т. Функция не убывает, когда ее производная не положительна.

Функция не возрастает, когда ее производная не отрицательна.

 Докажем для не убывающей функции.

1) f (x) - не убывает   x₁, x₂  .

2)   f (x) не убывает. ▲

§ Условие строгой монотонности функции.

Т. Функция строго монотонна тогда и только тогда когда ее производная внутри промежутка не меняя знака, обращается в ноль не более чем на множестве без внутренних точек.

 Допустим f (x) не убывает и не является строго возрастающей. Тогда

 х₁, х₂ х₁ < х₂ и f (x₁) = f (x₂).

Значит

 х  (x₁, x₂) f (x₁)  f (x)  f (x₂) т.е. f (x) = const на (x₁, x₂)  на (x₁, x₂). ▲

§ Дифференцирование неравенств.

Т. Если функции g(x) и f (x) непрерывны в правой полуокрестности точки x₀ и выполнены неравенства:

; ; … ;.

Тогда : .

 1) Рассмотрим функцию .

Тогда ,

при этом .

т.е. F₁(x₀)  0 и возрастает ().

Значит F₁(x)  0 т.е. .

2) Теперь рассмотрим функцию .

… … … …

.

3) … … … ▲

§ Необходимое и достаточное условие локального экстремума функции.

Def : Точка х₀ в которой (x₀)=0 называется стационарной. Точка х₀ в которой (x₀)=0 или (x) =  или (x) не существует называется критической.

Т. Если для функции f (x) в точке х₀ достигается внутренний, локальный экстремум, то точка х₀ – критическая.

• Факт этот следует из теоремы Ферма – это и есть необходимое условие экстремума. Однако не достаточное. Это иллюстрируют следующие примеры:

§. Достаточное условие экстремума.

Т. Если в окрестности точки внутреннего экстремума меняет знак с “ – ” на ” + ” то в критической точке имеется минимум функции; если меняет значение с “ + ” на ” – ” то в точке х₀ функция имеет максимум.

Т. Пусть в т. х₀ функция n – кратно дифференцируема, причем все производные

f ^(k)(x₀) до (n – 1) включительно равны нулю, и f ⁽ⁿ⁾(x₀)  0 то в точке х = х₀:

при четном n функция имеет минимум если > 0 и максимум если < 0;

при нечетном n функция не имеет экстремума. Она возрастает если > 0 и убывает если < 0.

 Утверждения следуют из разложения функции f (x) в ряд Тейлора в точке х₀:

. ▲

Задачи для исследования функций на экстремумы:

Для нижеуказанных функций установить характер экстремума в точке х = 0:

1

). ; 2). ;

3). ; 4). .

На иллюстрациях приведены эскизы первых трех функций. Вверху справа – для функции 1, внизу справа – для функции 2, внизу – две иллюстрации к функции 3, но в разных масштабах. Слева для , справа для . Они показывают динамику изменения функции при . Для функции 4 исследование следует провести самостоятельно.