§. Высшие производные обратных функций
Пусть
непрерывна, строго монотонна в окрестности
т.
,
где она n - кратно
дифференцируема, причем
.
Тогда в окрестности точки
существует обратная функция
,
которая непрерывна и строго монотонна
в этой окрестности и n
– кратно дифференцируема, причем n-я
производная обратной функции рационально
выражается через n
первых производных исходной функции в
т.
,
при этом в знаменателе стоит
.
.
§. Инвариантность формы первого дифференциала и неинвариантность формы высших дифференциалов функции
Пусть
.
Тогда
т.е.
и
.
Здесь – независимая переменная, а g – функция зависящая от х.
И, тем не менее, формулы для нахождения первого дифференциала одинаковы.
Это явление выражает инвариантность формы первого дифференциала относительно замены переменных.
Теперь для независимой переменной х
=
=
.
А для зависимой переменной g
.
Получили:
,
если х – независимая
переменная, и
,
если g – зависимая
переменная т.е. функция.
Это и есть не инвариантность формы второго (и, естественно, более высоких) дифференциала относительно замены переменных.
Раздел. Основные теоремы о дифференцируемых функциях
Функция
называется возрастающей в некоторой
окрестности
точки
,
если
.
Функция
называется убывающей в некоторой
окрестности
точки
,
если
.
Если функция дифференцируема в точке и ее производная больше (меньше) нуля, то она возрастает (убывает) в этой точке.
т.е.
а это и есть возрастание функции, имеющей положительную производную.
Аналогично для убывания функции, имеющей отрицательную производную.
Пусть
.
Если для значений M и m справедливо, что
и
,
то
говорят, что достигаются максимальное
и минимальное значения функции, и они
обозначаются
.
Пусть
.
Тогда
-
Если это справедливо на всей области определения
функции
,
то говорят, что это глобальный максимум
и глобальный минимум. -
Если это справедливо на некотором подмножестве
мы имеет место
локальный максимум и локальный минимум. -
Строгий максимум, если
не
строгий максимум, если
аналогично
определяются строгий минимум и нестрогий
минимум. -
Точки максимума и минимума называются точками экстремума.
-
Внутренний экстремум – достигается внутри
. -
Краевой экстремум – в граничной точке
.
Т(Ферма). В точке локального внутреннего экстремума производная функции, если она существует и конечна, равна нулю.
∆(для
max). Пусть функция
в точке
имеет локальный внутренний максимум.
Тогда
:
.
Получаем :
и
.
▲
Т(Ролля).
Если функция
дифференцируема внутри замкнутого
промежутка и непрерывна на нем, причем
на концах промежутка, принимает равные
значения, то внутри промежутка найдется
точка с нулевой производной (хотя бы
одна).
.
∆. Функция непрерывная на замкнутом промежутке необходимо ограничена на нем т.е.
причем m,
M – достигаются.
Возможны два случая:
a)
.
-
существует
хотя бы один внутренний локальный
экстремум.
Следовательно, по
теореме Ферма,
.
▲
Т
(Лангранжа). Если функция непрерывна
на замкнутом промежутке и дифференцируема
внутри него то внутри промежутка есть
точка, в которой касательная параллельна
хорде, соединяющей точки
и
.
∆ Рассмотрим
,
где L некоторая
постоянная.
По
условию теоремы
- непрерывна на [a,b],
дифференцируема на (a,b)
.
Константу L подберем из условия : F(a) = F(b).
Получим:
f
(a)
+ La = f
(b) + Lb,
f (a)
– f (b)
= L(b-a)
.
Так
построенная функция
удовлетворяет условиям теоремы Ролля
. Значит
т.е.
. ▲
Следствие:
Если
на
дифференцируема, то
Полученная формула называется формулой конечных приращений.
T
-
их производные одновременно не равны 0;
-
значения одной из функций на концах промежутка не совпадают;
то внутри промежутка есть точка где касательная к кривой, заданной параметрическими уравнениями, определяемыми этими функциями параллельна хорде.
f´²(t)
+ g´²(t)
≠ 0
( f(a)
≠ f(b)
g(a)
g(f)
)
(a,
b)
.
∆ Пусть
g(a)
g(b)
.
Рассмотрим функцию F(x) = f (x) – Lg(x) . Эта функция F(x) = f (x) – Lg(x) непрерывна на [a,b] и дифференцируема на (a,b).
Потребуем: F(а)
= F(b)
f
(а) – Lg(а) = f
(b) – Lg(b)
. Тогда L=
и по теореме Ролля :
при t =
. ▲
Tº (Дарбу). Произвольная функция, дифференцируемая на замкнутом промежутке, и принимающая два некоторых значения принимает и всякое промежуточное значение.
-
Частный случай : Если на концах промежутка функция имеет производную разных знаков, то внутри промежутка есть точка, в которой производная равна нулю.
∆ Пусть
и γ
(
,
β).
Рассмотрим функцию F(x) = f (x) – γx.
Для неё
.
на концах промежутка
принимает значения разных знаков,
следовательно
.
▲
Tº
(Об односторонней производной). Если
функция f определена
в односторонней окрестности точки x
= a и непрерывна в ней
, а в соответствующей проколотой
окрестности дифференцируема, то
односторонняя производная равна
соответствующему пределу производной
в этой точки
.
∆ Пусть
.
Тогда
.
Т.к. a
< γ(x)
< x , то
.
Если в формуле
устремить x → a
+ 0, то получим
.
▲