1.5.Алгоритм оценивания параметров моделей в условиях ограничений

Ограничения могут быть заданы как в форме уравнений-равенств, так и в виде неравенств.

Возвратимся вновь к переопределенной системе уравнений (1.11):

Рассмотрим алгоритм минимизации квадрата эвклидовой нормы при соблюдении следующих ограничений:

(1.42)

где C и S - матрицы размерности (kЧn) и (lЧn), соответственно,

d - (kЧ1)-мерный вектор,

g – (kЧ1)-мерный вектор постоянных коэффициентов.

Для получения вычислительного алгоритма воспользуемся оптими­зационной процедурой, основанной на использовании вектора множителей Лагранжа. Чтобы учесть ограничение (1.42), к критерию качества (1.13) аддитивно присоединим составляющую, определяющую стационарную точку при параллельных градиентах (1.13) и

(1.43)

где  - вектор множителей Лагранжа.

Минимальное значение (1.43) соответствует условию

или следующей зависимости от у и  :

(1.44)

Для нахождения вектора множителей Лагранжа произведем подстановку (1.44) в уравнение (1.42). B результате будем иметь

и оптимальная оценка определится с помощью следующего выражения:

(1.45)

Для упрощения записи введем следующие обозначения:

После подстановки в уравнение (1.5-5) получим

(1.46)

Заметим, что если ограничение-равенство отсутствует, то матрица C = 0, и (1.46) принимает вид

что соответствует полученному ранее выражению (1.15).

Теперь возвратимся к ограничению-неравенству (1.45). Чтобы учесть эту систему ограничений, воспользуемся следующим техническим приемом. Сначала получим оценку по уравнению (1.46). Затем произ­ведем проверку выполнения условий

и если они выполняются, завершим вычисления.

Предположим, что в левой части этого условия содержатся числа, превышающие соответствующие элементы вектора g. Тогда необходимо эти уравнения перевести в состав матрицы C, изменив число строк, и вновь повторить оценку по уравнению (1.46).

Ha следующем шаге число строк в матрице S уменьшится, и вновь будет произведена проверка соблюдения условия-неравенства. Если ос­тавшиеся зависимости отвечают условию-неравенству, вычислительный процесс завершается. B ином случае процедура повторяется.

Пример. Предположим, по результатам измерений, полученных в де­картовой системе координат в виде точек (0, 1), (1, 2), (2, 4), (4, 5) и (5, 6), необходимо оценить параметры а и b модели измерителя

при условии, что суммарная квадратическая ошибка оценки должна быть минимальной и прямая должна проходить точно через точку с координа­тами (5, 6).

Решение. Согласно (1.11) и (1.42), образуем матрицы и векторы

Решение выполним в среде MatLAB, в режиме прямых вычислений:

W=(inv((C*(inv(H'*h)))*C'))=0.6863;

Lam = W.*((C*(inv(H'*H))*H')*y-d)= 0.2353;

Wl= inv(H'*h)=

W2 = inv(C*Wl*C')=0.6863;

W3+Wl*(H'-C'*W2*C*Wl*H')*y =

W4= Wl*C'*W2.*d=

tet= W3+W4=

Таким образом, модель измерителя

Проверим условие прохождения прямой через точку с координатами (5,6):

B результате практического использования полученного алгоритма оптимального оценивания параметров и переменных состояния, представ­ленных вектором x (при матрице H полного ранга), мы получаем устойчи­вость вычислительного процесса и его робастность, поскольку, в отличие от итерационных процедур, применяемых в функциях, входящих в MatLAB, мы исключаем процесс итераций. Система (1.46) является жест­кой и, следовательно, задача решается за конечное число операций, зави­сящих от т и n матрицы H, а также от k и l матриц, входящих в систему ограничений.