1.2. Переопределенные системы уравнений. Метод наименьших квадратов

Переопределенные системы уравнений (1.1) с матрицей A полного ранга часто встречаются на практике, например, при решении геодезиче­ских задач на водных путях, нахождении координат расположения судов в открытых акваториях по данным измерений, в процессе обработки резуль­татов измерений деталей машин и механизмов, при управлении качеством продукции в серийном производстве и др. C переопределенными система­ми уравнений приходится иметь дело в информационно-измерительных и управляющих комплексах различного назначения, аппаратных средствах автоматизации технологических процессов и т.п.[6].

Поскольку измерения выполняются с погрешностями и математиче­ская модель, как правило, не в полной мере адекватна объекту, переопре­деленная система позволяет "сгладить" влияние погрешностей на конеч­ный результат. B этом случае принято говорить об оценивании параметров модели по экспериментальным данным, согласно выбранным критериям [13]. B простых ситуациях такими критериями могут быть различные нормы мат­риц и векторов: спектральная норма, l - норма,  - норма, эвклидова (сфери­ческая) норма и др.

Среди наиболее широко распространенных методов оценивания сле­дует отметить метод наименьших квадратов [44], [52]. Его популярность объясняет­ся, очевидно, тем, что он может быть применен в любом случае — как при наличии распределения вероятностей наблюдений, так и при их отсутст­вии. Если уровень помех пренебрежимо мал в сравнении с полезными сиг­налами, а экспериментальные данные модели, структура которой известна точно, являются информационными, то для линейных уравнений коэффи­циенты модели оцениваются точно.

B других случаях оценки, полученные при отсутствии распределе­ний методом наименьших квадратов, могут иметь плохие характеристики, но в таких ситуациях ничего лучшего сделать невозможно. При опреде­ленном распределении вероятностей (например, нормальном) оценки на основе этого метода могут даже обладать оптимальными статистическими свойствами.

Метод наименьших квадратов используется в задачах "подгонки" статических характеристик.

Рассмотрим линейную стационарную модель системы, содержащую аддитивные составляющие

s = a₁y₁ + a₂ y₂ + ...+ a_n y_n+ v, (1.9)

где a₁,...,a_n –постоянные коэффициенты,

y₁,..., у_n — входные сигналы,

s - выходной сигнал,

v — сигнал помехи (шум измерений).

Предположим, что в процессе работы системы одновременно в фик­сированные моменты времени измеряются входные сигналы и сигнал s. Обозначим их значения в моменты t₁, t₂, ..., t_m, соответственно, ин­дексами 1, 2, ..., т. Поскольку все измерения, в соответствии с вы­бранной моделью, отвечают (1.9), можно составить систему уравнений

s₁ = а₁y₁₁ + а₂у₁₂ + ...+ a_ny_1n + v₁, (1.10)

s₂ = а₁y₂₁ + а₂у₂₂ + ...+ a_ny_2n + v₂,

…………………………………

s_m = а₁y_m1 + а₂у_m2 + ...+ a_ny_mn + v_m.