- •В.И. Королев, в.В. Сахаров, о.В. Шергина оценка параметров, моделирование динамических систем и электрических цепей в среде matlab
- •Санкт-Петербург
- •Рецензенты:
- •Isbn 5-88964-073-X © Королев в. И.,
- •Содержание
- •1. Идентификация параметров моделей систем на основе квадратичных методов оценивания………..……………………………………………………………........................... 11
- •Модели установившихся режимов в электрических цепях и
- •4. Модели пространства состояний в электрических цепях и
- •5. Системы и цепи под воздействием параметрических возмущений: численные и
- •6. Моделирование динамических систем и электрических цепей средствами
- •8. Моделирование технологических процессов в системах с помощью
- •Введение
- •Идентификация параметров моделей систем на основе квадратичных методов оценивания
- •Линейные модели систем Рассмотрим систему линейных уравнений
- •Рассмотрим линейное уравнение
- •Для существования точного решения уравнения (1.1) должно выполняться условие
- •1.2. Переопределенные системы уравнений. Метод наименьших квадратов
- •Введем векторы
- •1.3. Оценивание параметров периодических сигналов по экспериментальным данным
- •Таким образом, требуется оценить амплитуды и фазы
- •Разделив период t на 24 равных интервала, мы получим . Так как , то каждому будет соответствовать угол (в градусах).
- •1.4. Рекуррентный метод оценивания параметров моделей
- •1.5.Алгоритм оценивания параметров моделей в условиях ограничений
- •Минимальное значение (1.43) соответствует условию
- •1.6. Нормы оценивания параметров в теории инверсных систем
- •1.7. Оценивание параметров по критерию минимума среднего абсолютного значения остатков
- •Уравнение измерителя
- •1.8. Нелинейное оценивание параметров моделей в режиме прямых вычислений
- •1.9. Алгоритм ортогонализации в оценке параметров динамических систем
- •Рассмотрим нелинейную дискретную модель системы
- •2. Модели установившихся режимов в электрических цепях и системах
- •2.1. Пример модели цепи постоянного тока
- •Пример модели цепи переменного тока
- •2.3.Несимметричные режимы в трехфазных электрических цепях: метод симметричных составляющих
- •2.4. Модель многоузлового разветвления русла в стационарном режиме. Аналогии с электрической цепью
- •2.5. Модель твердого тела с двумя неподвижными точками
- •2.6. Многопродуктовая модель экономики: межотраслевой баланс
- •2.7. Модель оценки элементов матрицы преобразования
- •3. Динамические звенья и системы под воздействием гармонических сигналов
- •3.1.Построение частотных характеристик простых динамических звеньев
- •3.2.Резонанс в динамических системах
- •3.4. Резонанс в электрических цепях
- •3.4. Режим биений
- •4. Модели пространства состояний в электрических цепях и системах
- •4.1. Понятие состояния
- •4.2. Уравнения состояния для электрических цепей
- •4.3. Приведение к резистивной форме моделей электрических цепей с одним накопителем энергии
- •4.4. Определение коэффициентов дифференциальных уравнений моделей электрических цепей с двумя накопителями энергии
- •4.5. Электрическая цепь с четырьмя накопителями энергии
- •4.6. Примеры составления уравнений состояния rlc -цепей в матричной форме
- •Исходная цепь
- •Краткие сведения о решателях дифференциальных уравнений
- •5.2. Об аналитическом решении дифференциальных уравнений
- •5.3.Матричная форма решения уравнений состояния динамических систем
- •Моделирование динамических систем с двумя накопителями энергии при параметрических возмущениях Для определенности рассмотрим модель динамической системы с двумя накопителями энергии:
- •Моделирование –цепей. Аналитические решения
- •Сопротивления ,
- •Переходный процесс в -цепи под воздействием синусоидального входного сигнала
- •Системы, находящиеся под воздействием периодических сигналов прямоугольной формы
- •Динамические системы с двумя накопителями энергии
- •Корни комплексно-сопряженные.
- •Кратные корни.
- •Вещественные неравные корни
- •Динамические системы с тремя накопителями энергии
- •6. Моделирование динамических систем и электрических цепей средствами символьной математики
- •6.1. Символьные выражения и алгебра
- •6.2. Алгебраические и трансцендентные уравнения. Расчет цепи постоянного тока
- •Символьной алгебры
- •6.3. Символьное дифференцирование и интегрирование
- •6.4. Решение дифференциальных уравнений в символьной форме
- •6.5. Моделирование переходных процессов в электрических цепях средствами пакета символьной математики
- •6.6. Операторный метод расчета переходных процессов с использованием пакета символьной математики
- •7. Модели детерминированного хаоса и их применение
- •7.1. Дискретные динамические модели первого порядка со сложной динамикой
- •7.2. Программное обеспечение и моделирование нелинейных дискретных систем. Хаос
- •7.3. О применении нелинейных моделей систем для получения псевдослучайных хаотических последовательностей
- •Моделирование технологических процессов в системах с помощью нейронных сетей
- •8.1.Общие положения
- •8.2. Последовательность операций при создании нейронной сети в среде matlab ( Neural Networks Toolbox)
- •3. Оценка погрешности нейронной модели. Для оценки используется функция моделирования, где в скобках, согласно синтаксису, приводятся сеть и входной сигнал:
- •Моделирование уровней воды в водной коммуникации на основе нейронных сетей
- •В водной коммуникации
- •8.4. Применение нейронной сети для определения химического состава песчано – гравийной смеси
- •Моделирование технологического процесса оценки и прогноза рыночных факторов, воздействующих на работу предприятия и бизнес в классе нейронных сетей
- •Библиографический список
- •Оценка параметров, моделирование динамических систем и электрических цепей в среде MatLab
- •165300, Г. Котлас, ул. Невского, 20.
4.5. Электрическая цепь с четырьмя накопителями энергии
Рассмотрим электрическую цепь, содержащую два источника электроэнергии, две индуктивности и два конденсатора (рис. 4.6 а).
В момент t = 0+ ключи k1 и k2 замыкаются. Чтобы описать поведение электрической цепи в переходном режиме, нам необходимо получить динамическую модель. Поскольку цепь состоит из линейных элементов, можно утверждать, что динамическая модель должна состоять из четырех дифференциальных уравнений первого порядка (см. уравнения 4.10). Введем переменные состояния: токи через индуктивности IL1 (t), IL2(t) и напряжения на емкостях UC1(t), UC2(t). Будем считать их основными переменными состояния, так как в момент коммутации ключей k1 и k2 они не могут изменяться скачком. Составим математическую модель электрической цепи в общем виде:
(4.28)
Чтобы найти выражения постоянных коэффициентов системы (4.28) в терминах параметров цепи, необходимо составить ее резистивную форму, отражающую взаимосвязь между переменными состояния в момент после коммутации, соответствующий времени t = =0+. Резистивная форма цепи приведена на рис. (4.6 б). Введенные обозначения переменных в приращениях можно принимать равными единице. Используя принцип суперпозиции, мы варьируем лишь ту переменную, сомножителем которой является искомый коэффициент. Остальные переменные при этом не изменяем - «замораживаем». В итоге анализа имеем следующие значения:
а)
б)
Рис.4.6. а) Электрическая цепь с четырьмя накопителями энергии.
б) Резистивная форма цепи
Введем вектор состояния: вектор управления . Тогда (4.28), с учетом значений коэффициентов, выраженных через параметры цепи, можно представить матричным дифференциальным уравнением , где А и В матрицы, равные:
(4.29)
Для моделирования переходных процессов в рассматриваемой электрической цепи, необходимо задать вектор начальных условий . Очевидно, до замыкания ключей k1 и k2 в начальный момент запасы энергии в цепи отсутствуют, и вектор .
4.6. Примеры составления уравнений состояния rlc -цепей в матричной форме
Составление дифференциальных уравнений, описывающих динамические процессы в электрических цепях, является важным этапом в моделировании неустановившихся режимов, с которыми приходится встречаться в практике проектирования и эксплуатации электроэнергетических систем и технологических комплексов. Корректность выполняемых решений, правильный выбор математического аппарата, адекватного классу исследуемых задач, а также умение производить грамотную оценку результатов моделирования на всех рабочих этапах являются главными показателями уровня профессиональной подготовки специалиста.
Преследуя цель, состоящую в закреплении материала, связанного с составлением математических моделей, мы приводим ряд примеров, на которых можно отработать навыки решения задач рассматриваемого класса.
Каждый пример представлен электрической цепью с двумя накопителями энергии и источником ЭДС. Для каждой цепи определены значения тока через индуктивность и напряжения на конденсаторе в момент t=0, которые записаны как элементы вектора начальных условий iL(0) и uC(0). Ток iLпр(t) и напряжение uCпр(t)-принужденные составляющие основных переменных состояния, получаемые по завершении переходного процесса, когда . Предполагается известной структура модели каждой цепи:
.
Для данной структуры в каждом примере приведены значения коэффициентов , , , и , , выраженные в терминах физических параметров конкретной цепи.
Аналитическая форма представления уравнений состояния позволяет задавать численные значения элементов цепи (активные сопротивления, емкость, индуктивность, величину ЭДС) и получать матрицу состояния с различными динамическими свойствами.
Моделирование можно выполнять с помощью решателей дифференциальных уравнений в среде MatLAB, а также путем использования функций символьной математики с последующей проверкой результатов вычислений.
Пример № 1
; ; ; ; ;
Пример № 2
; ; ;
;
Пример № 3
; ; ; ; ;
Пример № 4
; ;
; ;
;
Пример № 5
; ; ; ; ;
Пример № 6
; ; ; ;
;
Пример № 7
или
; ; ; ; ;
Пример № 8
Предварительные преобразования цепи:
; ; ; ;
;
Пример № 9
; ; ; ; ;
Пример № 10
, где
; ; ; ; ;
Пример № 11.
Начальные условия и принужденные составляющие:
; ; ; .
Элементы матриц модели:
; ; ; ; ; .
Пример № 12.
Начальные условия:
; .
Принужденные составляющие:
; .
Элементы матриц модели:
; ; ; ; ;
Пример № 13.
Начальные условия и принужденные составляющие:
, где ; ; ; .
Элементы матриц динамической модели:
;; ;; ; .
Пример № 14.
Начальные условия и принужденные составляющие:
; ;;.
Элементы матриц динамической модели:
; ; ; ; ; .
Пример № 15.
Начальные условия, принужденные составляющие:
; ; ; .
Элементы матриц динамической модели:
; ; ; ; ; .
Пример № 16.