Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Учебн. пособ. Сахарок.doc
Скачиваний:
50
Добавлен:
11.11.2018
Размер:
12.14 Mб
Скачать

4.5. Электрическая цепь с четырьмя накопителями энергии

Рассмотрим электрическую цепь, содержащую два источника элек­троэнергии, две индуктивности и два конденсатора (рис. 4.6 а).

В момент t = 0+ ключи k1 и k2 замыкаются. Чтобы описать поведение элек­трической цепи в пере­ходном режиме, нам необ­ходимо получить динами­ческую модель. Поскольку цепь состоит из линейных элементов, можно утвер­ждать, что динамическая модель должна состоять из четырех дифференциаль­ных уравнений первого порядка (см. уравнения 4.10). Введем переменные состояния: токи через ин­дуктивности IL1 (t), IL2(t) и напряжения на емкостях UC1(t), UC2(t). Будем считать их основными переменными состояния, так как в момент коммутации ключей k1 и k2 они не могут изменяться скачком. Составим матема­тическую модель электрической цепи в общем виде:

(4.28)

Чтобы найти выражения постоянных коэффициентов системы (4.28) в терминах параметров цепи, необходимо составить ее резистивную фор­му, отражающую взаимосвязь между переменными состояния в момент после коммутации, соответствующий времени t = =0+. Резистивная форма цепи приведена на рис. (4.6 б). Введенные обозначения переменных в при­ращениях можно принимать равными единице. Используя принцип суперпо­зиции, мы варьируем лишь ту переменную, сомножителем которой являет­ся искомый коэффициент. Остальные переменные при этом не изменяем - «замораживаем». В итоге анализа имеем следующие значения:

а)

б)

Рис.4.6. а) Электрическая цепь с четырьмя накопителями энергии.

б) Резистивная форма цепи

Введем вектор состояния: вектор управления . Тогда (4.28), с учетом значений коэффициентов, выраженных через параметры цепи, можно представить матричным дифференциальным уравнением , где А и В матрицы, равные:

(4.29)

Для моделирования переходных процессов в рассматриваемой элек­трической цепи, необходимо задать вектор начальных условий . Очевидно, до замыкания клю­чей k1 и k2 в начальный момент запасы энергии в цепи отсутствуют, и вектор .

4.6. Примеры составления уравнений состояния rlc -цепей в матричной форме

Составление дифференциальных уравнений, описывающих динамические процессы в электрических цепях, является важным этапом в моделировании неустановившихся режимов, с которыми приходится встречаться в практике проектирования и эксплуатации электроэнергетических систем и технологических комплексов. Корректность выполняемых решений, правильный выбор математического аппарата, адекватного классу исследуемых задач, а также умение производить грамотную оценку результатов моделирования на всех рабочих этапах являются главными показателями уровня профессиональной подготовки специалиста.

Преследуя цель, состоящую в закреплении материала, связанного с составлением математических моделей, мы приводим ряд примеров, на которых можно отработать навыки решения задач рассматриваемого класса.

Каждый пример представлен электрической цепью с двумя накопителями энергии и источником ЭДС. Для каждой цепи определены значения тока через индуктивность и напряжения на конденсаторе в момент t=0, которые записаны как элементы вектора начальных условий iL(0) и uC(0). Ток iLпр(t) и напряжение uCпр(t)-принужденные составляющие основных переменных состояния, получаемые по завершении переходного процесса, когда . Предполагается известной структура модели каждой цепи:

.

Для данной структуры в каждом примере приведены значения коэффициентов , , , и , , выраженные в терминах физических параметров конкретной цепи.

Аналитическая форма представления уравнений состояния позволяет задавать численные значения элементов цепи (активные сопротивления, емкость, индуктивность, величину ЭДС) и получать матрицу состояния с различными динамическими свойствами.

Моделирование можно выполнять с помощью решателей дифференциальных уравнений в среде MatLAB, а также путем использования функций символьной математики с последующей проверкой результатов вычислений.

Пример № 1

; ; ; ; ;

Пример № 2

; ; ;

;

Пример № 3

; ; ; ; ;

Пример № 4

; ;

; ;

;

Пример № 5

; ; ; ; ;

Пример № 6

; ; ; ;

;

Пример № 7

или

; ; ; ; ;

Пример № 8

Предварительные преобразования цепи:

; ; ; ;

;

Пример № 9

; ; ; ; ;

Пример № 10

, где

; ; ; ; ;

Пример № 11.

Начальные условия и принужденные составляющие:

; ; ; .

Элементы матриц модели:

; ; ; ; ; .

Пример № 12.

Начальные условия:

; .

Принужденные составляющие:

; .

Элементы матриц модели:

; ; ; ; ;

Пример № 13.

Начальные условия и принужденные составляющие:

, где ; ; ; .

Элементы матриц динамической модели:

;; ;; ; .

Пример № 14.

Начальные условия и принужденные составляющие:

; ;;.

Элементы матриц динамической модели:

; ; ; ; ; .

Пример № 15.

Начальные условия, принужденные составляющие:

; ; ; .

Элементы матриц динамической модели:

; ; ; ; ; .

Пример № 16.