-
Переходный процесс в -цепи под воздействием синусоидального входного сигнала
Предположим, что
электрическая цепь, состоящая из
и
,
подключается к источнику синусоидальной
ЭДС. Начальные условия также равны нулю.
Для определенности зададим следующие значения параметров модели:
(5.0)
Это уравнение можно записать как дифференциальное уравнение второго порядка:
, (5.0)
где
,
.
Общее решение дифференциального уравнения (5.37) при отсутствии ЭДС источника (при сохранении внутреннего сопротивления этого источника) равно:
(5.0)
Обратим внимание на то, что частота источника ЭДС, согласно (5.36), имеет значение, равное собственной частоте колебаний, полученной в уравнении (5.38). Поэтому при выборе частного решения неоднородного уравнения (5.36) следует принять:
(5.0)
Определим вторую
производную для (5.39) по времени и подставим
полученное значение и
в уравнение (5.37). В результате
,
.
Поэтому:
(5.0)
Решение дифференциального уравнения (5.37), состоящее из суммы общего (5.38) и частного (5.40) решений, равно:
.
Используя нулевые
начальные условия для
и
,
получим значения
и
.
Поэтому:
(5.0)
Гармонический
сигнал (5.41) характеризуется тем, что его
график должен ограничиваться двумя
прямыми
и
.
С течением времени амплитуда сигнала
должна безгранично возрастать. Если не
принять соответствующих мер, препятствующих
этому росту и ограничивающих его,
последствия могут быть катастрофическими.
При отсутствии в цепи активного сопротивления или иных средств, не допускающих увеличение сигналов сверх максимально допустимых по условиям прочности электрических материалов и работоспособности элементов, может произойти их повреждение, пробой изоляции или возникнуть аварийная ситуация (вследствие резонанса напряжений).
Подобный эффект можно наблюдать в механических системах. При слабом демпфировании на резонансной частоте может произойти повреждение пружины, либо других элементов конструкции.
Таким образом, появление резонанса возможно в динамической системе, если частота внешнего сигнала равна собственной частоте колебаний системы.
С увеличением коэффициента демпфирования амплитуды переменных состояния ограничиваются на резонансной частоте. Эти режимы были уже рассмотрены подробно в параграфах 3.2 и 3.3. Здесь же показано, что для установления максимальной амплитуды на резонансных частотах требуется определенное время. Данное обстоятельство очень часто используется на практике. Приведем пример.
Эксплуатация судовых двигателей внутреннего сгорания, установленных на жестком фундаменте, даже при наличии специальных демпфирующих устройств может приводить на отдельных частотах вращения к неприятным явлениям – увеличению амплитуды вибраций фундамента дизелей и отдельных металлических конструкций. Диапазон частот вращения двигателей, на котором наблюдаются такие явления, получил название зоны «критических оборотов». Чтобы исключить возникновение опасных рабочих режимов, в зоне «критических оборотов» работа дизелей запрещается специальной инструкцией судоводителю. При управлении двигателями рекомендуется внимательно следить за возникновением вибраций и характерного шума, которым сопровождается работа судовой энергетической установки на резонансных частотах, и не допускать его.
Моделирование
переходного процесса на резонансной
частоте выполнено путем численного
решения дифференциального уравнения
(5.36). Основная и вспомогательная программы,
базирующиеся на использовании
,
представлены ниже. В файле
(вспомогательный файл) содержится
функция
,
соответствующая правой части уравнения
(5.36).
Файл
echo off
clc
%Solution of second-order differential equation.
%Resonance.
t0=0;
tfinal=15;
y0=[0 0.25]'; %Define initial conditions.
%[t, y] = ode('sah3',t0,tfinal,y0);
tol=1.e-3; %Accuracy
trace=1;
[t, y] = ode23('sah3',t0,tfinal,y0,tol,trace);
plot(t, y), title('Resonance'), grid
pause
plot(y(:,1),y(:,2)), title('Resonance - phase plane plot'), grid
pause
Файл
%Resonance.
function yprime=sah3(t, y);
yprime=[0 1; -64 0]*[y(1) y(2)]'+[0 16]'*sin(8.0*t);
Г
рафики,
характеризующие изменение во времени
переменных состояния, представлены на
рис. 5.13. На рис. 5.14 изображен фазовый
портрет, свидетельствующий о расходящемся
переходном процессе.
