2.3.Несимметричные режимы в трехфазных электрических цепях: метод симметричных составляющих

Метод симметричных составляющих, предложенный Фортескью, позволяет сравнительно просто рассчитывать несимметричные режимы в трехфазных системах и электрических машинах.

В общем случае трехфазная система является несимметричной, если векторы , , трех фаз не равны по величине и не сдвинуты друг относительно друга на один и тот же угол .

Согласно методу, любая несимметричная трехфазная система может быть разложена на три симметричные системы – прямой, обратной и нулевой последовательностей. Симметричной трехфазной системой векторов называется система, состоящая из трех равных по модулю векторов, причем каждый вслед идущий вектор сдвинут относительно предыдущего на угол , где – любое целое число. Система векторов , , (рис. 2.3 а), для которых угол сдвига между вслед идущими векторами , имеет прямой порядок следования фаз в направлении вращения векторов и называется системой прямой последовательности. Система , , (рис. 2.3 б), в которой угол сдвига между вслед идущими векторами , имеет обратный порядок следования фаз и называется системой обратной последовательности. Система векторов , , (рис. 2.3 в), совпадающих по фазе ( или ), является системой нулевой последовательности. Систему прямой последовательности составляют все вектора, сдвинутые по фазе на угол при . Аналогично если и соответственно , то система векторов является также системой обратной последовательности. Для системы нулевой последовательности . Таким образом, все многообразие симметричных трехфазных систем для целых сводится к трем системам, изображенным на рис. 2.3.

Введем оператор трехфазной системы:

, где .

Поскольку умножение какого-либо вектора на оператор поворачивает вектор на угол против часовой стрелки без изменения модуля, систему векторов прямой последовательности можно представить равенствами:

, , (2.0)

Система обратной последовательности состоит из трех векторов , , , равных по модулю и повернутых относительно друг друга на 120, причем вектор опережает вектор на 120:

; ; (2.0)

Система нулевой последовательности образована тремя векторами, совпадающими по фазе:

(2.0)

В екторы , , несимметричной трехфазной системы могут быть представлены через векторы симметричных систем.

(2.0)

Из (2.8) следует, что

(2.0)

Напряжения несимметричной системы , , обычно известны. Поэтому из системы уравнений (2.9) можно определить значения напряжений систем прямой, обратной и нулевой последовательностей, выраженные через векторы основной несимметричной системы:

(2.0)

Аналогично, для линейных напряжений (например, линейного напряжения ):

(2.0)

Необходимо отметить, что нулевая составляющая линейных напряжений .

Несимметричные системы линейных напряжений и линейных токов при отсутствии нулевого провода содержат только составляющие прямой и обратной последовательностей. Если сумма векторов несимметричной системы равна нулю, то равны нулю векторы нулевой последовательности.

Напряжения прямой, обратной и нулевой последовательностей могут быть определены не только аналитическим путем, но и непосредственно выделены и измерены с помощью специальных фильтров. Фильтры имеют входные и выходные зажимы. К входным зажимам фильтра подводится напряжение трехфазной электрической цепи, на выходных зажимах фильтра получают напряжение или ток, пропорциональные соответствующим симметричным составляющим электрических величин. Фильтр напряжений нулевой последовательности может быть получен с помощью трех равных сопротивлений (рис. 2.4), в частности трех емкостей. При симметричном режиме работы трехфазной цепи напряжение между нулевой точкой «» генератора и нулевой точкой «» «звезды», образуемой сопротивлениями , равно . При появлении в трехфазной цепи напряжений нулевой последовательности между точками «» и «» возникает напряжение , равное составляющей нулевой последовательности (см. рис. 2.4).

Системы симметричных составляющих прямой и обратной последовательностей отличаются друг от друга порядком следования во времени амплитуд фазных величин. Поэтому всякая схема для выделения составляющих прямой последовательности может быть путем перестановки любых двух фаз превращена в схему для выделения составляющей обратной последовательности.

На рис.2.5 показан четырехэлементный фильтр напряжений обратной последовательности, применяемый в релейной защите.

Параметры элементов фильтра подбираются из условия:

(2.0)

При этом

Если и выразить через симметричные составляющие линейных напряжений (см. 2.11), то

(2.0)

Рассмотрим трехфазную цепь, представленную на рис. 2.6. Цепь содержит трехфазный генератор с несимметричной системой напряжений , , .

К шинам генератора подключены нагрузка , трехфазная симметричная нагрузка и фильтр напряжений обратной последовательности (ФНОП), используемый в релейной защите от обратной мощности.

Для обеспечения питания трехфазной симметричной нагрузки напряжением системы прямой последовательности в каждом из трех линейных проводов установлен частотный резонансный фильтр, состоящий из индуктивности и емкостей , .

Активная нагрузка включена между нулевой точкой синхронного генератора и выходом фильтра напряжения нулевой последовательности (ФННП), состоящего из трех емкостей , соединенных по схеме «звезда».Фильтр напряжений обратной последовательности содержит два активных сопротивления , и две емкости , .

Требуется рассчитать трехфазную цепь и, в частности, определить: фазные напряжения системы прямой, обратной и нулевой последовательностей генератора; емкостное сопротивление системы прямой последовательности, при котором сопротивление резонансного фильтра равно нулю; емкостное сопротивление системы обратной последовательности, при котором сопротивление резонансного фильтра равно бесконечности. Необходимо также найти: действующие значения токов , , ; потребляемую трехфазной нагрузкой мощность и коэффициент мощности ; потребляемую трехфазной нагрузкой мощность и угол фазового сдвига методом двух ваттметров.

Для расчета цепи необходимо задать модули векторов фазных напряжений генератора , , и их начальные фазы , , , соответственно, а также:

• активное сопротивление нагрузки ФННП;

• емкостное сопротивление системы нулевой последовательности ФННП;

• индуктивное сопротивление и емкостное системы прямой последовательности резонансного фильтра;

• индуктивное сопротивление системы обратной последовательности резонансного фильтра;

• активное сопротивление трехфазной симметричной нагрузки;

• индуктивное сопротивление системы прямой последовательности трехфазной симметричной нагрузки.

Расчет по методу симметричных составляющих состоит в следующем. На основании принципа наложения, применяемого к линейным цепям, заданный несимметричный режим работы цепи представляют как результат наложения трех симметричных режимов.

В первом симметричном режиме все токи, ЭДС и напряжения содержат составляющие прямой последовательности фаз, а все элементы цепи имеют сопротивления, равные сопротивлению для прямой последовательности .

Во втором симметричном режиме все токи, ЭДС и напряжения содержат составляющие только обратной последовательности, а все элементы цепи имеют сопротивления, равные сопротивлению для обратной последовательности.

В третьем симметричном режиме все токи, ЭДС и напряжения содержат только составляющие нулевой последовательности, а все элементы цепи имеют сопротивления, равные сопротивлению для нулевой последовательности .

Для расчета несимметричных режимов в трехфазной электрической цепи предложена программа, представленная в файле .

В исходных данных приведены численные значения модулей фазных напряжений несимметричной системы , и (в вольтах), а также их начальные фазы , и . Фазные углы выражены в радианах, для чего введен коэффициент , а сами углы представлены равенствами:

;

;

.

Активные и реактивные сопротивления цепи, перечисленные в исходных данных, имеют размерность (Ом).

Для удобства вычислений по заданным значениям , , , , и находятся компоненты действующих значений фазных напряжений генератора:

, , .

Расчетные значения выводятся на экран дисплея.

Напряжения прямой, обратной и нулевой последовательностей определяются по формуле (2.10). Вычисления выполняются в векторно-матричной форме:

,

где матрица составлена из единиц и операторов :

.

Для проверки расчетов по формуле (2.8) находятся фазные напряжения , , , а затем они сравниваются с , и .

Для получения максимальной мощности в трехфазной симметричной нагрузке рассчитываются параметры частотных фильтров. Поскольку фильтры во всех фазах одинаковы, достаточно привести расчет для одной фазы.

Фильтры, включенные в линию, не должны пропускать ток системы обратной последовательности. Это значит, что для прямой последовательности сопротивление фильтра равно нулю , а для обратной последовательности – равно бесконечности . Схема фильтра, удовлетворяющего данным требованиям, приведена на рис. 2.7.

Параметры фильтра должны быть подобраны так, чтобы в нем существовал режим резонанса напряжений системы прямой последовательности и режим резонанса токов системы обратной последовательности.

Комплексное сопротивление фильтра (рис. 2.7) равно:

(2.0)

Сопротивление выбирается из условия равенства нулю сопротивления фильтра для системы прямой последовательности . В этом случае

(2.0)

Сопротивление выбирается из условия равенства бесконечности сопротивления фильтра для системы обратной последовательности. В этом случае

(2.0)

С помощью программы по заданным значениям сопротивлений , для системы прямой последовательности и значению сопротивления для системы обратной последовательности определяется сопротивление для системы прямой последовательности из условия равенства нулю сопротивления фильтра для системы прямой последовательности; определяется сопротивление для системы обратной последовательности (из условия равенства бесконечности сопротивления фильтра для системы обратной последовательности).

В разделе программы «Расчет токов и напряжений» предусматривается определение потенциала узла (по формуле 2.17), комплекса действующего значения тока системы нулевой последовательности в нагрузке (по формуле 2.18), а также комплекса действующего значения тока системы нулевой последовательности через конденсатор фильтра нулевой последовательности.

Согласно методу узловых потенциалов, потенциал точки (см. рис. 2.6)

, (2.0)

где – узловой ток системы нулевой последовательности узла ; – узловая проводимость нулевой последовательности узла ;

– комплексная проводимость ветвей ФННП;

– комплексная проводимость нагрузки ФННП.

Комплекс действующего значения тока системы нулевой последовательности в нагрузке

, (2.0)

где , – соответственно действующее значение и начальная фаза тока системы нулевой последовательности в нагрузке ФННП.

Комплекс действующего значения тока системы нулевой последовательности через конденсатор фильтра нулевой последовательности

, (2.0)

где , – соответственно действующее значение и начальная фаза тока через емкость ФННП.

С учетом симметрии нагрузки, действующее значение тока системы прямой последовательности определится по формуле:

(2.0)

Коэффициент мощности трехфазной симметричной нагрузки

(2.0)

В приведенном разделе программы расчеты по формулам (2.172.19) и (2.202.21) выполняются, соответственно, после комментариев а) и б).

Далее определяется мощность, потребляемая трехфазной симметричной нагрузкой. Для одной фазы:

(2.0)

и трех фаз:

(2.0)

Расчет мощности, потребляемой нагрузкой, выполняется по методу двух ваттметров. Согласно рис. 2.6, показания первого и второго ваттметров определяются по формулам:

, (2.0) , (2.0)

где и – сопряженные комплексы токов в фазах A и C нагрузки. Сумма и должна совпадать со значением потребляемой мощности, вычисленной по формуле (2.23).

По показаниям двух ваттметров при симметричной нагрузке определяется угол фазового сдвига

(2.0)

Расчет выходного напряжения фильтра напряжения обратной последовательности предусмотрен соотношениями, содержащимися в тексте программы, следующем после аналогичных комментариев. Здесь по заданным значениям и (см. исходные данные в тексте программы) определяются активные сопротивления фильтра обратной последовательности

, (2.0)

выходное напряжение ФНОП (см. рис 2.5)

, (2.0)

где , . При этом , .

Затем рассчитываются линейное напряжение системы обратной последовательности и, согласно формуле (2.13), подтверждается, что действующее значение выходного напряжения фильтра в 1,5 раза больше линейного напряжения системы обратной последовательности.

Файл

% Файл "sah110".

% Расчет периодических несинусоидальных токов в трехфазных электрических цепях.

%--------------------------------------------------------------------------------------------------------------

% Исходные данные:

b=(pi/180);

Ua=380;Ub=381;Uc=375;

Kua=0*b;Kub=-119*b;Kuc=125*b;

XL1=24;XL2=27;XC0=6.9;

XC1=40.0;R0=10;X1=8.0;

X2=12.9;Rn=0.5;Xn=1.2;

%--------------------------------------------------------------------------------------------------------------

% Запись фазных напряжений несимметричной системы:

j=sqrt(-1);

Va=Ua*exp(j*Kua);

Vb=Ub*exp(j*Kub);

Vc=Uc*exp(j*Kuc);

Va_Vb_Vc=[Va;Vb;Vc]

pause,

%--------------------------------------------------------------------------------------------------------------

% Напряжения прямой, обратной и нулевой последовательностей, выраженные через

% вектора несимметричной системы:

a=exp(j*120*b)

A=[1 a a^2;1 a^2 a;1 1 1];

UU=(1/3)*A*[Va Vb Vc]'

pause,

%--------------------------------------------------------------------------------------------------------------

% Напряжения фаз А,В и С:

% а) Прямая последовательность

U1a_U1b_U1c=diag([1 a^2 a])*ones(3,1).*UU(1)

UP=U1a_U1b_U1c;

% б) Обратная последовательность

U2a_U2b_U2c=diag([1 a a^2])*ones(3,1).*UU(2)

UO=U2a_U2b_U2c;

% в) Нулевая последовательность (для всех фаз)

UN=UU(3)

pause,

%--------------------------------------------------------------------------------------------------------------

% Проверка выполненных расчетов путем определения несимметричных

% составляющих через системы прямой, обратной и нулевой последовательностей:

Ua1=UP(1)+UO(1)+UN;

Ub1=UP(2)+UO(2)+UN;

Uc1=UP(3)+UO(3)+UN;

Ua1_Ub1_Uc1=[Ua1 Ub1 Uc1]'

Va_Vb_Vc=[Va Vb Vc]'

pause,

%--------------------------------------------------------------------------------------------------------------

% Определение параметров резонансного фильтра:

% (резонанс напряжений системы прямой последовательности и резонанс токов

% системы обратной последовательности):

XC21=(XC1*XL1)/(XC1-XL1);

XC11=XL2;

XC21_XC11=[XC21 XC11]'

pause,

%--------------------------------------------------------------------------------------------------------------

% Расчет токов и напряжений.

% а).Система нулевой последовательности:

fi0=UU(3)/(1+(-j*XC0/(3*R0)));

I0=fi0/R0;

Ic0=I0/3;

I0_Ic0=[I0 Ic0]'

pause,

% б).Прямая последовательность

W=sqrt(Rn^2+Xn^2);

In1=abs(UP(1))/W

cosfi=Rn/W

pause,

% Расчет мощности, потребляемой трехфазной симметричной нагрузкой:

Pf1=In1*abs(UP(1))*cosfi;

P3f1=3*Pf1

pause,

% Расчет показаний ваттметров:

% (метод двух ваттметров)

zz=Rn+j*Xn;

Ia1=UU(1)/zz;

Ic1=UP(3)/zz;

Uab1=UP(1)-UP(2);

Ucb1=UP(3)-UP(2);

Ia1_Ic1=[Ia1 Ic1]'

Uab1_Ucb1=[Uab1 Ucb1]'

pause,

% Показания первого ваттметра:

P1=real(Uab1*Ia1');

% Показания второго ваттметра:

P2=real(Ucb1*Ic1');

% Сумма показаний двух ваттметров:

P1_P2=[P1 P2]'

Pn1=P1+P2

pause,

% Проверка:

Pn1;

P3f1

pause,

% По показаниям двух ваттметров определяем угол фазового сдвига:

tagfi=(P2-P1)*sqrt(3)/(P1+P2)

pause,

% Расчет выходного напряжения фильтра напряжения обратной последовательности:

R1=X1*sqrt(3);

R2=X2/sqrt(3);

Uab2=UO(1)-UO(2);

Ubc2=UO(2)-UO(3);

zz1=R1-j*X1;zz2=R2-j*X2;

Iab2=Uab2/zz1;

Ibc2=Ubc2/zz2;

Iab2_Ibc2=[Iab2 Ibc2]'

Uab2_Ubc2=[Uab2 Ubc2]'

pause,

% Выходное напряжение фильтра обратной последовательности:

u=Iab2*R1+Ibc2*(-j*X2)

% Линейное напряжение системы обратной последовательности:

Ulin2=UO(1)-UO(3)

uu=1.5*Ulin2

pause,

clc

% Действующие значения напряжений (расчетное и по результатам проверки):

Upac=abs(u)

Ucon=abs(uu)

В результате вычислений, выполненных по программе (файл ), имеем:

п sah110

Va_Vb_Vc =

1.0e+002 *

3.8000

- 1.8471 – 3.3323i

- 2.1509 + 3.0718i

a =

-0.5000 + 0.8660i

UU =

1.0e+002 *

0.0843 + 0.0443i

3.7817 - 0.1311i

- 0.0660 + 0.0868i

U1a_U1b_U1c =

8.4295 + 4.4282i

- 0.3798 - 9.5143i

- 8.0497 + 5.0861i

U2a_U2b_U2c =

1.0e+002 *

3.7817 - 0.1311i

- 1.7773 + 3.3406i

- 2.0044 - 3.2095i

UN =

- 6.6012 + 8.6827i

Ua1_Ub1_Uc1 =

1.0e+002 *

3.8000 + 0.0000i

- 1.8471 - 3.3323i

- 2.1509 + 3.0718i

Va_Vb_Vc =

1.0e+002 *

3.8000

- 1.8471 + 3.3323i

- 2.1509 - 3.0718i

XC21_XC11 =

60

27

I0_Ic0 =

- 0.8166 - 0.6804i

- 0.2722 - 0.2268i

In1 =

7.3245

cosfi =

0.3846

P3f1 =

80.4732

Ia1_Ic1 =

5.6383 + 4.6754i

1.2298 - 7.2205i

Uab1_Ucb1 =

8.8094 -13.9425i

- 7.6699 -14.6004i

P1_P2 =

- 15.5169

95.9901

Pn1 =

80.4732

P3f1 =

80.4732

tagfi =

2.4000

Iab2_Ibc2 =

40.9383 + 1.4193i

- 37.3199 -23.3070i

Uab2_Ubc2 =

1.0e+002 *

5.5590 + 3.4717i

0.2271 - 6.5501i

u =

8.6792e+002+ 4.6176e+002i

Ulin2 =

5.7861e+002+ 3.0784e+002i

uu =

8.6792e+002+ 4.6176e+002i

Upac =

983.1091

Ucon =

983.1091

п