-
Пример модели цепи переменного тока
Для расчета цепей переменного тока в системе MatLAB воспользуемся символическим методом. Его использование при составлении уравнений в матричной форме, как было рассмотрено выше, имеет особенности, связанные с операцией транспонирования векторов и матриц.
Остановимся на модели простой однофазной цепи переменного тока. Схема цепи приведена на рис. 2.2.
Рис. 2.2. Электрическая цепь переменного тока
Исходные данные:
;
,
,
,
.
Необходимо определить токи ветвей и получить баланс мощностей, генерируемых источниками и потребляемых цепью.
Решение задачи выполним методом узловых потенциалов. Метод наиболее широко используется при моделировании сложных электроэнергетических систем, как в переходных, так и в установившихся режимах. Подключение к энергосети крупных потребителей, либо их отключение приводят к изменению напряжений узлов и перераспределению мощностей между генераторами и потребителями. Изменения потенциалов узлов сети не должны превышать определенных предельных значений, установленных нормативными документами и инструкциями по эксплуатации систем.
В установившимся режиме, если уравнения энергосистемы представлены в линеаризованной форме, в процессе анализа приходится иметь дело с пассивной электрической сетью, матрица проводимости которой может содержать несколько десятков и даже сотен элементов.
Матричное уравнение модели пассивной цепи, базирующейся на составлении матрицы проводимостей, имеет вид:
, (2.0)
где
– вектор токов,
– вектор напряжений узлов,
–
матрица собственных и взаимных
проводимостей (в комплексной форме).
Преследуя чисто
учебные цели, мы приведем машинную
программу с подробным описанием процедуры
расчета довольно простой цепи, но модель
ее также представлена уравнением (2.4).
Для цепи (рис. 2.2) необходимо определить
потенциалы лишь двух узлов (потенциал
третьего узла принят равным нулю).
Поэтому размерность матрицы
в уравнении (2.4) составляет
,
и расчеты могут быть выполнены на обычном
калькуляторе. Вместе с тем программа
может быть легко адаптирована к задачам
высокой размерности, которые целесообразно
решать только на компьютерах. Процедура
же вычислений существенно не изменится
и будет такой, как и в рассматриваемом
примере.
Программа содержится
в файле
.
Вычисления
начинаются с нахождения собственных и
взаимных проводимостей первого и второго
узлов:
,
,
и
.
Для проверки результатов на промежуточном
этапе используется показательная форма
записи собственной проводимости первого
узла (модуль и угол в градусах).
Из полученных
комплексных проводимостей образуется
матрица
,
эквивалентная
(см. уравнение 2.4):
.
Согласно методу
узловых потенциалов, взаимные проводимости
записаны со знаком «минус», причем
.
Отдельно выполняется
операция инверсии
:
.
Вектор узловых
токов записывается как вектор-столбец,
содержащий две строки:
и
.
Первый этап вычислений завершается
определением вектора потенциалов узлов:
.
Файл
%Расчет цепи переменного тока.
%Файл "sah9.m".
%Исходные данные:
i=sqrt(–1);
E1=24*exp(i*0); E2=12*exp(i*(pi/2));
X1=–2; X2=2; X3=–2; R1=5; R2=5;
Y11=1/(i*X1)+1/R1+1/R2;
abs(Y11);
fi=(180/pi)*angle(Y11);
Y12=–1/R2; Y21=–1/R2;
Y22=1/R2+1/(i*X3)+1/(i*X2);
Y1=1/(i*X1); Y2=1/(i*X2); Y4=1/(i*X3);
YA=[Y11 Y12; Y21 Y22];
Y=inv(YA);
E=[E1 *Y1; E2*Y2];
F=Y*E;
%Полученный вектор F есть вектор-столбец
%Currents:
I=[E1–F(1,1); F(1,1); F(1,1)–F(2,1); F(2,1); E2–F(2,1)].*[Y1; 1/R1; 1/R2; Y4; Y2]
pause
ia=(E1–F(1,1))*Y1; ib=F(1,1)*(1/R1);
ic=(F(1,1)–F(2,1))*(1/R2); id=F(2,1)*Y4;
ie=(E2–F(2,1))*Y2;
IV=I;
I1=abs(IV(1,1));
k=(180/pi);
FI1=k*angle(IV(1,1));
I2=abs(IV(2,1));
FI2=k*angle(IV(2,1));
I3=abs(IV(3,1));
FI3=k*angle(IV(3,1));
I4=abs(IV(4,1));
FI4=k*angle(IV(4,1));
abs(ie);
k*angle(ie);
I5=abs(IV(5,1));
FI5=k*angle(IV(5,1));
%Modules of currents:
Imod=[I1 I2 I3 I4 I5]
pause,
%Arguments:
Angles =[FI1 FI2 FI3 FI4 FI5]
pause,
%Проверка
%Input power:
Pi=E1*(IV(1,1))'+E2*(IV(5,1))'
pause,
%Consumption power:
Pc=((abs(IV(1,1)))^2)*(i*X1)+((abs(IV(2,1)))^2)*R1+((abs(IV(3,1)))^2)*R2+((abs(IV(4,1)))^2)*(i*X3)+((abs(IV(5,1)))^2)*(i*X2)
DM=(ia)*(ia)'*(i*X1)+(ib)*(ib)'*R1+(ic)*(ic)'*R2+(id)*(id)'*(i*X3)+(ie)*(ie)'*(i*X2);
pause
Error =Pi–Pc
%Current of the first port:
p1=IV(1,1)
pt1=IV(2,1)+IV(3,1)
pause
%Current of the second port:
p2=IV(3,1)
pt2=–IV(5,1)+IV(4,1)
По закону Ома для
участка цепи, содержащего ЭДС,
рассчитывается вектор токов ветвей
.
Здесь используется знак «.*», означающий
поэлементное умножение комплексных
напряжений ветвей на их комплексные
проводимости.
Вектор проводимостей
ветвей в этом уравнении представляется
вектор-столбцом из пяти строк (элементы
разделены знаком «;»). Полученные значения
токов выводятся на экран дисплея в виде
вектор-столбца размерности
,
состоящего из комплексных чисел.
После паузы
пользователю предоставляется возможность
проверить вычисления токов поэлементно
(формулы для
,
,
,
и
).
Последующие операторы используются
для вычисления модулей токов и их
аргументов (в градусах), которые
представляются, соответственно, векторами
и
.
После комментария
«Проверка» вычисляются: мощность,
генерируемая двумя источниками в цепь;
мощность, потребляемая сетью, в том
числе – для проверки повторно определяемая
с помощью уравнения
;
вычисляется ошибка; рассчитываются
токи узлов.
Результаты расчетов, выполненные на компьютере, выведены на печать и, согласно приведенной программе, содержат следующие данные:
п Sah9
I =
–1.0345 – 0.4138i
4.9655 – 0.4138i
–6.0000 + 0.0000i
1.0345 + 27.4138i
7.0345 + 27.4138i
Imod =
1.1142 4.9827 6.0000 27.4333 28.3019
Angles =
–158.1986 –4.7636 180.0000 87.8389 75.6082
Pi =
3.0414e+002 + 9.4345e+001i
Pc =
3.0414e+002 + 9.4345e+001i
Error =
0 – 8.5265e–014i
p1 =
–1.0345 – 0.4138i
pt1 =
–1.0345 – 0.4138i
p2 =
–6.0000 + 0.0000i
pt2 =
–6
п