1. Идентификация параметров моделей систем на основе квадратичных методов оценивания

1. Линейные модели систем Рассмотрим систему линейных уравнений

(1.1)

где A - матрица постоянных коэффициентов размерности (mЧn),

x - (nЧ1) - вектор неизвестных переменных состояния,

b - (mЧl) - вектоp выхода.

Предположим, что матрица состоит из т векторов, образованных из элементов строк

Множество векторов а₁, а₂, ..., а_m содержит линейно зависимые векторы, если существуют такие действительные числа ₁, _2, …, _m, не все равные нулю, при которых обеспечивается равенство

(1.2)

Если равенство (1.2) не соблюдается, то векторы а₁, а₂, ..., а_m являются линейно независимыми. Например, матрица

содержит все линейно зависимые строки, поскольку любой из векторов а₁, ... а₄ может быть получен путем умножения другого вектора на по­стоянное число

Ранг матрицы A есть максимальное число линейно независимых ее строк и столбцов. Для нахождения ранга матрицы в среде MatLAB исполь­зуется оператор

rank(A) = 1,

т.е. A содержит все линейно зависимые векторы.

Рассмотрим линейное уравнение

(1.3)

Поскольку матрица А₁ является квадратной, то вектор x, казалось бы, должен определяться путем использования операции инверсии

B среде MatLAB инверсию выполним с помощью оператора "inv":

x = (inv(A1))*b.

Однако ранг A₁ равен 2, и система уравнений плохо обусловлена, т.к. векторы, составленные из элементов первой и второй строк, являются линейно зависимыми.

Для существования точного решения уравнения (1.1) должно вы­полняться условие

rank(A) = = n, (1.4)

где (nЧn) — размерность квадратной матрицы A.

Возвращаясь к примеру (1.3), получим

rank(A₁) = 2;

= 3,

т.е. условие (1.4) не соблюдается, и точное решение не существует, поскольку

Ранг прямоугольной матрицы размерности (mЧn) не обязательно ра­вен min{m,n}, т.е.

rank(A) min{m,n}.

Если же

rank(A) = min{m,n},

то принято считать, что A имеет полный ранг.

Рассмотрим систему уравнений

где

Определим ранг двух матриц

rank(A₃) = 2,

Заметим, что число столбцов А₃ больше числа строк и соблюдается условие

rank(A₃ ) = rank([A₃ • b₃ ]) < n .

Поэтому мы получим множество решений для вектора

x = [x₁ х₂ х₃]^т.

Таковыми, например, являются

х = [- 1 1 0]^Т; х = [0.3333 0.6267 -0.0533]^Т и другие.

Если А₃ имеет размерность (mЧn), причем т <n, то ее полный ранг равен т. Тогда множество любых т независимых векторов, составленное из столбцов A₃ , образует базис матрицы. Из этих столбцов можно образовать квадратную матрицу B размерности (mЧm}, которая может быть под­матрицей A₃

A₃ = [B N], (1.5)

где N состоит из столбцов, не вошедших в B. Размерность N равна [m(n - m)].

Согласно (1.5) можно произвести разложение вектора x на состав­ляющие

x = [x_B x_N]^T, размерности которых, соответственно, т и (n - m). Вектор x_B cостоит из базисных переменных, a x_N содержит небазисные переменные.

Очевидно, исходную систему линейных уравнений (1.1) в этом случае можно записать

[B N] (1.6)

Полагая х_N = 0, мы можем точно определить x_B:

(1.7)

поскольку в этом случае выполняется условие (1.4).

Концепция базиса матрицы играет фундаментальную роль в ли­нейном программировании. Располагая множеством базисных решений, мы в принципе можем выбрать наилучшее из них в определенном крите­риальном смысле. Однако процедура выбора - достаточно сложная задача, решаемая методами математического программирования на компьютерах при наличии соответствующего программного обеспечения.

Возвратимся вновь к линейному уравнению (1.1). Если размер­ность A равна (mЧn}, причем т > n, то система оказывается переопреде­ленной. B этом случае число уравнений больше числа неизвестных, и в процессе решения такой системы мы можем найти оценку вектора x, отве­чающую в наилучшей степени всем уравнениям переопределенной систе­мы. Такой "наилучшей" оценкой может быть, например, минимум эвкли­довой нормы вектора

(1.8)

где - оценка вектора x размерности (n1).

Напомним, что z имеет размерность (ml) и остановимся на данном вопросе более подробно.