- •В.И. Королев, в.В. Сахаров, о.В. Шергина оценка параметров, моделирование динамических систем и электрических цепей в среде matlab
- •Санкт-Петербург
- •Рецензенты:
- •Isbn 5-88964-073-X © Королев в. И.,
- •Содержание
- •1. Идентификация параметров моделей систем на основе квадратичных методов оценивания………..……………………………………………………………........................... 11
- •Модели установившихся режимов в электрических цепях и
- •4. Модели пространства состояний в электрических цепях и
- •5. Системы и цепи под воздействием параметрических возмущений: численные и
- •6. Моделирование динамических систем и электрических цепей средствами
- •8. Моделирование технологических процессов в системах с помощью
- •Введение
- •Идентификация параметров моделей систем на основе квадратичных методов оценивания
- •Линейные модели систем Рассмотрим систему линейных уравнений
- •Рассмотрим линейное уравнение
- •Для существования точного решения уравнения (1.1) должно выполняться условие
- •1.2. Переопределенные системы уравнений. Метод наименьших квадратов
- •Введем векторы
- •1.3. Оценивание параметров периодических сигналов по экспериментальным данным
- •Таким образом, требуется оценить амплитуды и фазы
- •Разделив период t на 24 равных интервала, мы получим . Так как , то каждому будет соответствовать угол (в градусах).
- •1.4. Рекуррентный метод оценивания параметров моделей
- •1.5.Алгоритм оценивания параметров моделей в условиях ограничений
- •Минимальное значение (1.43) соответствует условию
- •1.6. Нормы оценивания параметров в теории инверсных систем
- •1.7. Оценивание параметров по критерию минимума среднего абсолютного значения остатков
- •Уравнение измерителя
- •1.8. Нелинейное оценивание параметров моделей в режиме прямых вычислений
- •1.9. Алгоритм ортогонализации в оценке параметров динамических систем
- •Рассмотрим нелинейную дискретную модель системы
- •2. Модели установившихся режимов в электрических цепях и системах
- •2.1. Пример модели цепи постоянного тока
- •Пример модели цепи переменного тока
- •2.3.Несимметричные режимы в трехфазных электрических цепях: метод симметричных составляющих
- •2.4. Модель многоузлового разветвления русла в стационарном режиме. Аналогии с электрической цепью
- •2.5. Модель твердого тела с двумя неподвижными точками
- •2.6. Многопродуктовая модель экономики: межотраслевой баланс
- •2.7. Модель оценки элементов матрицы преобразования
- •3. Динамические звенья и системы под воздействием гармонических сигналов
- •3.1.Построение частотных характеристик простых динамических звеньев
- •3.2.Резонанс в динамических системах
- •3.4. Резонанс в электрических цепях
- •3.4. Режим биений
- •4. Модели пространства состояний в электрических цепях и системах
- •4.1. Понятие состояния
- •4.2. Уравнения состояния для электрических цепей
- •4.3. Приведение к резистивной форме моделей электрических цепей с одним накопителем энергии
- •4.4. Определение коэффициентов дифференциальных уравнений моделей электрических цепей с двумя накопителями энергии
- •4.5. Электрическая цепь с четырьмя накопителями энергии
- •4.6. Примеры составления уравнений состояния rlc -цепей в матричной форме
- •Исходная цепь
- •Краткие сведения о решателях дифференциальных уравнений
- •5.2. Об аналитическом решении дифференциальных уравнений
- •5.3.Матричная форма решения уравнений состояния динамических систем
- •Моделирование динамических систем с двумя накопителями энергии при параметрических возмущениях Для определенности рассмотрим модель динамической системы с двумя накопителями энергии:
- •Моделирование –цепей. Аналитические решения
- •Сопротивления ,
- •Переходный процесс в -цепи под воздействием синусоидального входного сигнала
- •Системы, находящиеся под воздействием периодических сигналов прямоугольной формы
- •Динамические системы с двумя накопителями энергии
- •Корни комплексно-сопряженные.
- •Кратные корни.
- •Вещественные неравные корни
- •Динамические системы с тремя накопителями энергии
- •6. Моделирование динамических систем и электрических цепей средствами символьной математики
- •6.1. Символьные выражения и алгебра
- •6.2. Алгебраические и трансцендентные уравнения. Расчет цепи постоянного тока
- •Символьной алгебры
- •6.3. Символьное дифференцирование и интегрирование
- •6.4. Решение дифференциальных уравнений в символьной форме
- •6.5. Моделирование переходных процессов в электрических цепях средствами пакета символьной математики
- •6.6. Операторный метод расчета переходных процессов с использованием пакета символьной математики
- •7. Модели детерминированного хаоса и их применение
- •7.1. Дискретные динамические модели первого порядка со сложной динамикой
- •7.2. Программное обеспечение и моделирование нелинейных дискретных систем. Хаос
- •7.3. О применении нелинейных моделей систем для получения псевдослучайных хаотических последовательностей
- •Моделирование технологических процессов в системах с помощью нейронных сетей
- •8.1.Общие положения
- •8.2. Последовательность операций при создании нейронной сети в среде matlab ( Neural Networks Toolbox)
- •3. Оценка погрешности нейронной модели. Для оценки используется функция моделирования, где в скобках, согласно синтаксису, приводятся сеть и входной сигнал:
- •Моделирование уровней воды в водной коммуникации на основе нейронных сетей
- •В водной коммуникации
- •8.4. Применение нейронной сети для определения химического состава песчано – гравийной смеси
- •Моделирование технологического процесса оценки и прогноза рыночных факторов, воздействующих на работу предприятия и бизнес в классе нейронных сетей
- •Библиографический список
- •Оценка параметров, моделирование динамических систем и электрических цепей в среде MatLab
- •165300, Г. Котлас, ул. Невского, 20.
-
1.3. Оценивание параметров периодических сигналов по экспериментальным данным
При малом уровне помех метод наименьших квадратов может эффективно использоваться для разложения периодических функций в ряд Фурье, а также для оценивания коэффициентов ортогональных полиномов и различных ортогональных функций, в частности, полиномов Чебышева, Лежандра и др.
Ряды Фурье широко используются в настоящее время для решения важных практических задач. Например, в электроэнергетических системах наиболее эффективно передавать энергию при номинальных значениях частоты и напряжения. Однако в реальных условиях в энергосистемах возникают искажения синусоидальной формы кривых тока и напряжения. Поэтому необходимо отклонения форм кривых тока и напряжения от правильной синусоидальной формы оценивать по гармоническим составляющим периодических сигналов.
Предположим, что в процессе обработки периодического сигнала получены значения напряжения через каждые 15° в контрольных точках. Измерения произведены с точностью, определяемой лишь одним знаком после запятой. Полученные данные в интервале изменения угла alf= 0°180° сведены в таблицу 1.2, содержащую 13 экспериментальных точек.
Таблица 1.2.
аlf(i) (град) |
0 |
15 |
30 |
45 |
60 |
75 |
90 |
105 |
120 |
135 |
150 |
165 |
180 |
u(i)(B) |
12.7 |
33.8 |
52.0 |
60.9 |
57.8 |
45.7 |
31.1 |
20.1 |
15.6 |
15.1 |
13.0 |
4.2 |
-12.7 |
B первой строке таблицы приведен угол alf(i) (в градусах), во второй - напряжение u(i) (в вольтах), i = 0, . . . , 12 .
Требуется по данным таблицы 1.2. определить амплитуды и фазы первых трех гармони периодического сигнала
(1.22)
где 0 - частота первой гармоники.
Таким образом, требуется оценить амплитуды и фазы
U1m , Q1 ,
U2m , Q2 ,
U3m , Q3 .
Разделив период t на 24 равных интервала, мы получим . Так как , то каждому будет соответствовать угол (в градусах).
.
Для нахождения угла в i-ой точке, где i= 024, можно воспользоваться простым соотношением
i = 0, …, 12,
на основании которого заполнена первая строка таблицы 1.2.
Из данных второй строки образуем вектор выхода
y1 = [12.7 33.8 52.0 … 4.2 -12.7]T
размерности (13Ч1).
Чтобы придать уравнению (1.22) вид модели (1.19), воспользуемся тождественным преобразованием
(1.23)
Введем обозначения
Эти величины в уравнении (1.23) являются постоянными. u(0 t) является скалярной величиной. Она может быть получена в виде произведения двух векторов: вектор-строки [sin0 t cos 0 t sin 20 t cos 20 t sin 30 t cos 30 t] и вектор-столбца х, образованного из элементов
x = [x(1) x(2) x(3) x(4) x(5) x(6)]T , т.е
u(0 t) =[sin0 t cos 0 t sin 20 t cos 20 t sin 30 t cos 30 t]
Вектор x является искомым вектором, содержащим шесть неизвестных коэффициентов. Для их оценивания, согласно (1.10), требуется составить число уравнений т > 6. Мы выбрали т = 13 и привели эти данные в таблице 1.2.
C помощью вектор-строки приведенного выше уравнения сформируем матрицу H размерности (13Ч6), где каждая i-ая строка должна содержать значения элементов, соответствующие углу alf(i), приведенному в i- ой ячейке первой строки таблицы. B среде MatLAB эта операция выполняется в режиме прямых вычислений
alf=0:15:180;
bet = alf.*(pi/180);
H = [sin(bet)' cos(bet)' sin(2*bet)' cos(2*bet)'
sin(3*bet)' cos(3*bet)']
H =
0 1.0000 0 1.0000 0 1.0000
0.2588 0.9659 0.5000 0.8660 0.7071 0.7071
0.5000 0.8660 0.8660 0.5000 1.0000 0.0000
0.7071 0.7071 1.0000 0.0000 0.7071 -0.7071
0.8660 0.5000 0.8660 -0.5000 0.0000 -1.0000
0.9659 0.2588 0.5000 -0.8660 -0.7071 -0.7071
1.0000 0.0000 0.0000 -1.0000 -1.0000 0.0000
0.9659 -0.2588 -0.5000 -0.8660 -0.7071 0.7071
0.8660 -0.5000 -0.8660 -0.5000 0.0000 1.0000
0.7071 -0.7071 -1.0000 0.0000 0.7071 0.7071
0.5000 -0.8660 -0.8660 0.5000 1.0000 0.0000
0.2588 -0.9659 -0.5000 0.8660 0.7071 -0.7071
0.0000 -1.0000 0.0000 1.0000 0.0000 -1.0000
>>
Можно убедиться, что H имеет полный ранг: rank(Н)=6. Поэтому существует ее обратная матрица . Следовательно, для оценки x можно использовать уравнение (1.15).
Используя выражения для x(l) и x(2), определим амплитуду первой гармоники U1m и фазу Q1
Угол Q1 (в градусах) найдем с помощью уравнения
Аналогично определим U2m, Q2, U3m и Q3
Следовательно, напряжение u(0 t), в соответствии с (1.22), может быть записано с помощью уравнения
(1.24)
при условии, что 0 t имеет размерность "градусы".
B полученном уравнении (1.24) амплитуда напряжения первой гармоники более чем на два порядка превышает амплитуду второй гармоники. Поэтому при выполнении инженерных расчетов второй гармоникой можно пренебречь, а в величинах аргументов первой и третьей гармоник - учесть лишь десятые доли градуса. Тогда получим
(1.25)
Все приведенные выше расчеты в среде MaiLAB могут быть выполнены в режиме прямых вычислений, без составления машинных программ. B случае автоматизации вычислительного процесса необходимо иметь в виду, что в составе вектора x* могут быть элементы равные нулю. Если, например, (3)и (4)равны нулю, то при получении U2m=0 из цикла должна исключаться операция расчета Q2, поскольку будет представлять собой неопределенность типа 0/0, и последующие вычисления на ПЭВМ прекратятся.
Чтобы оценить погрешность вычислений, вызванную ограничением разрядов чисел, содержащихся во второй строке таблицы 1.2, возвратимся к уравнению (1.26) — модели процесса, которая в действительности использована для получения экспериментальных данных и составления таблицы:
(1.26)
Видно, что вторая гармоника в составе сигнала отсутствовала. Повысим точность измерений и представим вектор у следующими данными:
y = [l2.6937 33.7823 52.0270 60.8661 57.8116 45.7234 ...
31.0608 20.1415 15.5952 15.0802 12.9958 4.1658 -12.6937]Т
B этом случае у условно можно считать вектором детерминированных сигналов.
Чтобы убедиться практически в отсутствии шума в элементах у, оценим вновь искомые величины с помощью метода наименьших квадратов. B результате получим
(1.27)
Используя элементы вектора-столбца (1.27) для оценки амплитуд и фаз гармоник, будем иметь
Таким образом, оценочные значения практически совпадают с принятыми исходными данными.
Теперь определим вектор шума z, представляющий собой разность между у и у1:
z = y – y1 = [-0.0063 -0.0177 0.0270 -0.0339 0.0116 0.0234 ...
-0.0392 0.0415 -0.0048 -0.0198 -0.0042 -0.0342 0.0063]T
Для оценки z используем критерий (1.13)
Аналогичный результат получим, если воспользуемся эвклидовой нормой согласно правилу (1.18). Вычисления в среде MatLAB выполним с помощью оператора
Заметим, что полученные величины J не характеризуют "качество" моделирования. Адекватность модели и объекта, представленного вектором y1, может быть установлена по вектору z1, где
z1 = y1 – yм= [-0.0056 0.0166 -0.0271 0.0309 -0.0150 -0.0223 ...
0.0462 -0.0330 0.0660 0.0091 -0.0166 0.0153 -0.0061]Т
Вектор ум, в свою очередь, следует восстановить, используя матрицу H и вектор наилучшей оценки
yм = = [l2.7056 33.7834 52.0271 60.8691 57.8150 45.7223 ...
31.0538 20.1330 15.5934 15.0909 13.0166 4.1847 -12.6939]T