- •В.И. Королев, в.В. Сахаров, о.В. Шергина оценка параметров, моделирование динамических систем и электрических цепей в среде matlab
- •Санкт-Петербург
- •Рецензенты:
- •Isbn 5-88964-073-X © Королев в. И.,
- •Содержание
- •1. Идентификация параметров моделей систем на основе квадратичных методов оценивания………..……………………………………………………………........................... 11
- •Модели установившихся режимов в электрических цепях и
- •4. Модели пространства состояний в электрических цепях и
- •5. Системы и цепи под воздействием параметрических возмущений: численные и
- •6. Моделирование динамических систем и электрических цепей средствами
- •8. Моделирование технологических процессов в системах с помощью
- •Введение
- •Идентификация параметров моделей систем на основе квадратичных методов оценивания
- •Линейные модели систем Рассмотрим систему линейных уравнений
- •Рассмотрим линейное уравнение
- •Для существования точного решения уравнения (1.1) должно выполняться условие
- •1.2. Переопределенные системы уравнений. Метод наименьших квадратов
- •Введем векторы
- •1.3. Оценивание параметров периодических сигналов по экспериментальным данным
- •Таким образом, требуется оценить амплитуды и фазы
- •Разделив период t на 24 равных интервала, мы получим . Так как , то каждому будет соответствовать угол (в градусах).
- •1.4. Рекуррентный метод оценивания параметров моделей
- •1.5.Алгоритм оценивания параметров моделей в условиях ограничений
- •Минимальное значение (1.43) соответствует условию
- •1.6. Нормы оценивания параметров в теории инверсных систем
- •1.7. Оценивание параметров по критерию минимума среднего абсолютного значения остатков
- •Уравнение измерителя
- •1.8. Нелинейное оценивание параметров моделей в режиме прямых вычислений
- •1.9. Алгоритм ортогонализации в оценке параметров динамических систем
- •Рассмотрим нелинейную дискретную модель системы
- •2. Модели установившихся режимов в электрических цепях и системах
- •2.1. Пример модели цепи постоянного тока
- •Пример модели цепи переменного тока
- •2.3.Несимметричные режимы в трехфазных электрических цепях: метод симметричных составляющих
- •2.4. Модель многоузлового разветвления русла в стационарном режиме. Аналогии с электрической цепью
- •2.5. Модель твердого тела с двумя неподвижными точками
- •2.6. Многопродуктовая модель экономики: межотраслевой баланс
- •2.7. Модель оценки элементов матрицы преобразования
- •3. Динамические звенья и системы под воздействием гармонических сигналов
- •3.1.Построение частотных характеристик простых динамических звеньев
- •3.2.Резонанс в динамических системах
- •3.4. Резонанс в электрических цепях
- •3.4. Режим биений
- •4. Модели пространства состояний в электрических цепях и системах
- •4.1. Понятие состояния
- •4.2. Уравнения состояния для электрических цепей
- •4.3. Приведение к резистивной форме моделей электрических цепей с одним накопителем энергии
- •4.4. Определение коэффициентов дифференциальных уравнений моделей электрических цепей с двумя накопителями энергии
- •4.5. Электрическая цепь с четырьмя накопителями энергии
- •4.6. Примеры составления уравнений состояния rlc -цепей в матричной форме
- •Исходная цепь
- •Краткие сведения о решателях дифференциальных уравнений
- •5.2. Об аналитическом решении дифференциальных уравнений
- •5.3.Матричная форма решения уравнений состояния динамических систем
- •Моделирование динамических систем с двумя накопителями энергии при параметрических возмущениях Для определенности рассмотрим модель динамической системы с двумя накопителями энергии:
- •Моделирование –цепей. Аналитические решения
- •Сопротивления ,
- •Переходный процесс в -цепи под воздействием синусоидального входного сигнала
- •Системы, находящиеся под воздействием периодических сигналов прямоугольной формы
- •Динамические системы с двумя накопителями энергии
- •Корни комплексно-сопряженные.
- •Кратные корни.
- •Вещественные неравные корни
- •Динамические системы с тремя накопителями энергии
- •6. Моделирование динамических систем и электрических цепей средствами символьной математики
- •6.1. Символьные выражения и алгебра
- •6.2. Алгебраические и трансцендентные уравнения. Расчет цепи постоянного тока
- •Символьной алгебры
- •6.3. Символьное дифференцирование и интегрирование
- •6.4. Решение дифференциальных уравнений в символьной форме
- •6.5. Моделирование переходных процессов в электрических цепях средствами пакета символьной математики
- •6.6. Операторный метод расчета переходных процессов с использованием пакета символьной математики
- •7. Модели детерминированного хаоса и их применение
- •7.1. Дискретные динамические модели первого порядка со сложной динамикой
- •7.2. Программное обеспечение и моделирование нелинейных дискретных систем. Хаос
- •7.3. О применении нелинейных моделей систем для получения псевдослучайных хаотических последовательностей
- •Моделирование технологических процессов в системах с помощью нейронных сетей
- •8.1.Общие положения
- •8.2. Последовательность операций при создании нейронной сети в среде matlab ( Neural Networks Toolbox)
- •3. Оценка погрешности нейронной модели. Для оценки используется функция моделирования, где в скобках, согласно синтаксису, приводятся сеть и входной сигнал:
- •Моделирование уровней воды в водной коммуникации на основе нейронных сетей
- •В водной коммуникации
- •8.4. Применение нейронной сети для определения химического состава песчано – гравийной смеси
- •Моделирование технологического процесса оценки и прогноза рыночных факторов, воздействующих на работу предприятия и бизнес в классе нейронных сетей
- •Библиографический список
- •Оценка параметров, моделирование динамических систем и электрических цепей в среде MatLab
- •165300, Г. Котлас, ул. Невского, 20.
2.6. Многопродуктовая модель экономики: межотраслевой баланс
Количественный анализ в макро- и микроэкономике, моделирование сложных динамических процессов в экономических системах составляют одно из главных направлений развития экономической науки.
Любое современное национальное хозяйство развивается в сложной сети межотраслевых связей. Их изучение, построение экономико-математических моделей производятся на основе современной теории управления, идентификации и оптимизации. Управляемые экономические системы описываются дифференциальными или конечно-разностными уравнениями соответственно для непрерывных или дискретных (многошаговых) процессов. Понятия и определения системы, модели обратной связи, внешней среды, замкнутой и разомкнутой систем, целевой функции и другие, используемые в теории систем, целиком распространяются на экономические системы.
Единым является математический аппарат анализа и синтеза систем, независимо от их физической природы. Заметим, что еще в пятидесятые годы прошлого века в работах академика Канторовича Л.В. были установлены аналогии закономерно протекающих процессов в различных физических системах и экономике. Наконец, в подтверждение вышесказанного можно предложить читателю ознакомиться с очень содержательной работой [29], посвященной созданию теории гидравлических сетей.
Конечно, экономико-математические модели, разработка которых ныне впитала в себя труд нескольких поколений экономистов и сотен экономических школ, представляют богатейшее направление исследований, имеющих огромное самостоятельное значение [24] . Мы же коснемся лишь отдельной проблемы – межотраслевого баланса, чтобы подчеркнуть еще раз ее непосредственное отношение к задачам управленческого профиля.
Проблему межотраслевого баланса рассмотрим на простом примере.
Предположим, что экономическая система состоит из трех отраслей промышленности: угольной, производства стали и электроэнергии. Каждая отрасль должна обеспечить свои потребности и потребности двух других отраслей в своей продукции, используемой в качестве сырья этими отраслями. Выпускаемую и потребляемую продукцию в экономике целесообразно представлять в денежном выражении.
Предположим условно, что для добычи угля стоимостью 1 (золотой рубль) необходимо 0,02 (руб.) стали и 0,01 (руб.) электроэнергии. При этом угля для организации добычи не требуется.
Чтобы произвести на 1 (руб.) стали, требуется 0,15 (руб.) угля, 0,03 –стали и 0,08 – электроэнергии.
Чтобы выработать на 1 (руб.) электроэнергии, требуется 0,43 (руб.) угля, 0,20 – стали и 0,05 – электроэнергии.
Каков должен быть выпуск продукции каждой отраслью, с учетом потребностей двух других отраслей, чтобы объем их производства составил: 2 (млн. руб.) – угля, 1 (млн. руб.) – стали и 3 (млн. руб.) – электроэнергии?
Для решения задачи составим матрицу коэффициентов прямых затрат, состоящую из трех строк и трех столбцов:
|
Уголь |
Сталь |
Электроэнергия |
|
Уголь |
0 |
0,15 |
0,43 |
|
Сталь |
0,02 |
0,03 |
0,20 |
|
Электроэнергия |
0,01 |
0,08 |
0,05 |
|
Матрица является таблицей входов-выходов, соответствующих заданным экономическим условиям работы отраслей.
Вектор принято называть вектором конечного спроса. Полагая, что числа в нем указаны в миллионах рублей, запишем:
.
Однако, чтобы обеспечить на конечном этапе (выходе системы, состоящей из трех отраслей) угля на 2 (млн. руб.), необходимо в действительности добыть угля (млн. руб.), с учетом обеспечения производства (млн. руб.) стали и (млн. руб.) электроэнергии.
Для определения обратимся к матрице входов-выходов. Чтобы добыть (млн. руб.) угля, для угольной отрасли необходимо (млн. руб.) угля, (млн. руб.) угля для производства (млн. руб.) стали и угля – для производства электроэнергии.
Следовательно, для получения на выходе количества угля, необходимо на входе иметь , причем:
(2.0)
Аналогично, общее количество стали, используемое в производстве, будет связано с конечным продуктом уравнением:
(2.0)
Наконец, чтобы обеспечить потребность (конечный спрос) в электричестве, равный , и одновременно создать нормальные условия для производства стали и добычи угля (спрос на которые составляет и ), нам необходимо выполнить условие:
(2.0)
Введем – вектор валового продукта. Тогда уравнения (2.55), (2.56) и (2.57) можно записать в матричной форме:
(2.0)
Отсюда находим вектор :
, (2.0)
где – единичная матрица.
Обратим внимание на то, что матрица коэффициентов прямых затрат является квадратной с неотрицательными элементами. Из курса математической экономики известно, что если является продуктивной, то для любого положительного вектора конечного спроса уравнение (2.58) имеет положительное решение, равное (2.59) [3]. Экономический смысл этого понятия состоит в следующем: неотрицательная матрица продуктивна, если существует такой положительный вектор-столбец объемов производства отраслей , что каждая отрасль может произвести некоторое количество конечной продукции. Инверсная матрица называется мультипликатором Леонтьева (по аналогии с кейнсианской концепцией мультипликатора). Экономический смысл элементов матрицы состоит в следующем: каждый коэффициент показывает потребность в валовом выпуске продукции отрасли для производства единицы конечной продукции отрасли . Этот элемент, по существу, есть мультипликатор, характеризующий эффект распространения спроса, первоначальным источником которого является спрос на конечную продукцию.
Модель межотраслевого баланса в форме (2.58) и (2.59) обычно предусматривает баланс основных показателей нескольких десятков отраслей народного хозяйства, и при большой размерности задача может быть эффективно реализована в системе MatLAB.
Выражение (2.59) является достаточно упрощенным. В действительности модели межотраслевых связей отраслей, располагающих несколькими технологиями производства продукции (процессами или видами деятельности), должны предусматривать возможность выбора той или иной технологии, исходя из критериев эффективности, на основе процедур оптимизации. Такие модели называются обобщенными моделями межотраслевых связей. Часто их называют моделями Василия Леонтьева.
Возвращаясь вновь к уравнению (2.58), отметим, что межотраслевой анализ может рассматриваться как особый случай решения системы линейных уравнений. Решение может быть получено, например, путем последовательных приближений по методу Якоби, с помощью метода Гаусса-Зейделя, либо метода пошагового агрегирования. При этом решение на каждой итерации приобретает конкретный экономический смысл, так как характеризует эффект мультипликации, порождаемый конечным спросом.
Для решения задачи в виде уравнения (2.59) требуется лишь существование мультипликатора Леонтьева, то есть матрицы
(2.0)
Для рассмотренного выше примера размерности можно записать:
,
.
Наконец, решение имеет вид:
.
Таким образом, чтобы сбалансировать работу трех отраслей, обеспечивающих конечный продукт, определяемый вектором , необходимо довести добычу угля до 3,72 (млн. руб.), производство стали должно составить 1,78 (млн. руб.) и электроэнергии 3,35(млн. руб.).
Конечно, балансовый анализ может быть полезен не только на отраслевом уровне. Он может производиться для отдельных сегментов экономики и даже частных компаний, осуществляющих производство товаров в условиях рынка.
В заключение приведем пример расчета в системе MatLAB равномер-ного выпуска продукции семью отраслями японской экономики в течение
1980 г. Таблицы коэффициентов прямых затрат и стоимостных объемов конечного спроса использованы нами из текста программы «Анализ затраты – выпуск», приведенной в работе [26], с. 169-171.
При выводе результатов на дисплей и печать мы будем использовать обозначения матриц и векторов, принятые в тексте (формулы (2.58), (2.59), (2.60)), а отрасли экономики обозначим по порядку цифрами:
-
сельское, лесное и рыбное хозяйство;
-
тяжелая промышленность;
-
легкая промышленность;
-
строительство;
-
энергетика;
-
транспорт и связь;
-
услуги.
– матрица прямых затрат;
– обратная матрица Леонтьева;
– базовые значения величины конечного спроса;
– имитационные значения величины конечного спроса (с учетом его прироста);
– базовые значения объемов выпуска;
– объемы выпуска с учетом прироста.
Выполним анализ в режиме прямых вычислений:
п А
A=
0.1078 0.1645 0.0004 0.0012 0.0005 0 0.0078
0.1156 0.2311 0.0433 0.1980 0.0035 0.0343 0.0439
0.0683 0.0980 0.4529 0.1935 0.3869 0.1435 0.0326
0.0018 0.0011 0.0012 0.0003 0.0086 0.0026 0.0183
0.0346 0.0370 0.0647 0.0192 0.1630 0.1953 0.0236
0.0376 0.0440 0.0283 0.0612 0.0248 0.1125 0.0541
0.0666 0.1246 0.1173 0.1231 0.0655 0.1431 0.1494
D1
D1=
Columns 1 through 6
89 31625 30634 49670 3077 15919
Column 7
117240
D2
D2=
Columns 1 through 6
89 34787 30634 49670 3077 15919
Column 7
117240
I
I=
1 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 1
B
B=
1.1609 0.2594 0.0313 0.0642 0.0199 0.0243 0.0287
0.2075 1.3906 0.1478 0.3248 0.0885 0.1136 0.0960
0.2914 0.4354 2.0502 0.5612 0.9873 0.5964 0.1811
0.0072 0.0098 0.0109 1.0084 0.0177 0.0129 0.0240
0.1045 0.1425 0.1998 0.1221 1.3050 0.3376 0.0763
0.0834 0.1178 0.1011 0.1284 0.0908 1.1827 0.0912
0.1846 0.3163 0.3408 0.3069 0.2690 0.3276 1.2416
X1=B*D1’
X1=
1.0e+005*
0.1627
0.7799
1.3824
0.5381
0.3503
0.4301
1.8732
X2=B*D2’
X2=
1.0e+005*
0.1709
0.8239
1.3962
0.5384
0.3548
0.4338
1.8832