Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Учебн. пособ. Сахарок.doc
Скачиваний:
50
Добавлен:
11.11.2018
Размер:
12.14 Mб
Скачать

2.6. Многопродуктовая модель экономики: межотраслевой баланс

Количественный анализ в макро- и микроэкономике, моделирование сложных динамических процессов в экономических системах составляют одно из главных направлений развития экономической науки.

Любое современное национальное хозяйство развивается в сложной сети межотраслевых связей. Их изучение, построение экономико-математических моделей производятся на основе современной теории управления, идентификации и оптимизации. Управляемые экономические системы описываются дифференциальными или конечно-разностными уравнениями соответственно для непрерывных или дискретных (многошаговых) процессов. Понятия и определения системы, модели обратной связи, внешней среды, замкнутой и разомкнутой систем, целевой функции и другие, используемые в теории систем, целиком распространяются на экономические системы.

Единым является математический аппарат анализа и синтеза систем, независимо от их физической природы. Заметим, что еще в пятидесятые годы прошлого века в работах академика Канторовича Л.В. были установлены аналогии закономерно протекающих процессов в различных физических системах и экономике. Наконец, в подтверждение вышесказанного можно предложить читателю ознакомиться с очень содержательной работой [29], посвященной созданию теории гидравлических сетей.

Конечно, экономико-математические модели, разработка которых ныне впитала в себя труд нескольких поколений экономистов и сотен экономических школ, представляют богатейшее направление исследований, имеющих огромное самостоятельное значение [24] . Мы же коснемся лишь отдельной проблемы – межотраслевого баланса, чтобы подчеркнуть еще раз ее непосредственное отношение к задачам управленческого профиля.

Проблему межотраслевого баланса рассмотрим на простом примере.

Предположим, что экономическая система состоит из трех отраслей промышленности: угольной, производства стали и электроэнергии. Каждая отрасль должна обеспечить свои потребности и потребности двух других отраслей в своей продукции, используемой в качестве сырья этими отраслями. Выпускаемую и потребляемую продукцию в экономике целесообразно представлять в денежном выражении.

Предположим условно, что для добычи угля стоимостью 1 (золотой рубль) необходимо 0,02 (руб.) стали и 0,01 (руб.) электроэнергии. При этом угля для организации добычи не требуется.

Чтобы произвести на 1 (руб.) стали, требуется 0,15 (руб.) угля, 0,03 –стали и 0,08 – электроэнергии.

Чтобы выработать на 1 (руб.) электроэнергии, требуется 0,43 (руб.) угля, 0,20 – стали и 0,05 – электроэнергии.

Каков должен быть выпуск продукции каждой отраслью, с учетом потребностей двух других отраслей, чтобы объем их производства составил: 2 (млн. руб.) – угля, 1 (млн. руб.) – стали и 3 (млн. руб.) – электроэнергии?

Для решения задачи составим матрицу коэффициентов прямых затрат, состоящую из трех строк и трех столбцов:

Уголь

Сталь

Электроэнергия

Уголь

0

0,15

0,43

Сталь

0,02

0,03

0,20

Электроэнергия

0,01

0,08

0,05

Матрица является таблицей входов-выходов, соответствующих заданным экономическим условиям работы отраслей.

Вектор принято называть вектором конечного спроса. Полагая, что числа в нем указаны в миллионах рублей, запишем:

.

Однако, чтобы обеспечить на конечном этапе (выходе системы, состоящей из трех отраслей) угля на 2 (млн. руб.), необходимо в действительности добыть угля (млн. руб.), с учетом обеспечения производства (млн. руб.) стали и (млн. руб.) электроэнергии.

Для определения обратимся к матрице входов-выходов. Чтобы добыть (млн. руб.) угля, для угольной отрасли необходимо (млн. руб.) угля, (млн. руб.) угля для производства (млн. руб.) стали и угля – для производства электроэнергии.

Следовательно, для получения на выходе количества угля, необходимо на входе иметь , причем:

(2.0)

Аналогично, общее количество стали, используемое в производстве, будет связано с конечным продуктом уравнением:

(2.0)

Наконец, чтобы обеспечить потребность (конечный спрос) в электричестве, равный , и одновременно создать нормальные условия для производства стали и добычи угля (спрос на которые составляет и ), нам необходимо выполнить условие:

(2.0)

Введем – вектор валового продукта. Тогда уравнения (2.55), (2.56) и (2.57) можно записать в матричной форме:

(2.0)

Отсюда находим вектор :

, (2.0)

где – единичная матрица.

Обратим внимание на то, что матрица коэффициентов прямых затрат является квадратной с неотрицательными элементами. Из курса математической экономики известно, что если является продуктивной, то для любого положительного вектора конечного спроса уравнение (2.58) имеет положительное решение, равное (2.59) [3]. Экономический смысл этого понятия состоит в следующем: неотрицательная матрица продуктивна, если существует такой положительный вектор-столбец объемов производства отраслей , что каждая отрасль может произвести некоторое количество конечной продукции. Инверсная матрица называется мультипликатором Леонтьева (по аналогии с кейнсианской концепцией мультипликатора). Экономический смысл элементов матрицы состоит в следующем: каждый коэффициент показывает потребность в валовом выпуске продукции отрасли для производства единицы конечной продукции отрасли . Этот элемент, по существу, есть мультипликатор, характеризующий эффект распространения спроса, первоначальным источником которого является спрос на конечную продукцию.

Модель межотраслевого баланса в форме (2.58) и (2.59) обычно предусматривает баланс основных показателей нескольких десятков отраслей народного хозяйства, и при большой размерности задача может быть эффективно реализована в системе MatLAB.

Выражение (2.59) является достаточно упрощенным. В действительности модели межотраслевых связей отраслей, располагающих несколькими технологиями производства продукции (процессами или видами деятельности), должны предусматривать возможность выбора той или иной технологии, исходя из критериев эффективности, на основе процедур оптимизации. Такие модели называются обобщенными моделями межотраслевых связей. Часто их называют моделями Василия Леонтьева.

Возвращаясь вновь к уравнению (2.58), отметим, что межотраслевой анализ может рассматриваться как особый случай решения системы линейных уравнений. Решение может быть получено, например, путем последовательных приближений по методу Якоби, с помощью метода Гаусса-Зейделя, либо метода пошагового агрегирования. При этом решение на каждой итерации приобретает конкретный экономический смысл, так как характеризует эффект мультипликации, порождаемый конечным спросом.

Для решения задачи в виде уравнения (2.59) требуется лишь существование мультипликатора Леонтьева, то есть матрицы

(2.0)

Для рассмотренного выше примера размерности можно записать:

,

.

Наконец, решение имеет вид:

.

Таким образом, чтобы сбалансировать работу трех отраслей, обеспечивающих конечный продукт, определяемый вектором , необходимо довести добычу угля до 3,72 (млн. руб.), производство стали должно составить 1,78 (млн. руб.) и электроэнергии 3,35(млн. руб.).

Конечно, балансовый анализ может быть полезен не только на отраслевом уровне. Он может производиться для отдельных сегментов экономики и даже частных компаний, осуществляющих производство товаров в условиях рынка.

В заключение приведем пример расчета в системе MatLAB равномер-ного выпуска продукции семью отраслями японской экономики в течение

1980 г. Таблицы коэффициентов прямых затрат и стоимостных объемов конечного спроса использованы нами из текста программы «Анализ затраты – выпуск», приведенной в работе [26], с. 169-171.

При выводе результатов на дисплей и печать мы будем использовать обозначения матриц и векторов, принятые в тексте (формулы (2.58), (2.59), (2.60)), а отрасли экономики обозначим по порядку цифрами:

  1. сельское, лесное и рыбное хозяйство;

  2. тяжелая промышленность;

  3. легкая промышленность;

  4. строительство;

  5. энергетика;

  6. транспорт и связь;

  7. услуги.

– матрица прямых затрат;

– обратная матрица Леонтьева;

– базовые значения величины конечного спроса;

– имитационные значения величины конечного спроса (с учетом его прироста);

– базовые значения объемов выпуска;

– объемы выпуска с учетом прироста.

Выполним анализ в режиме прямых вычислений:

п А

A=

0.1078 0.1645 0.0004 0.0012 0.0005 0 0.0078

0.1156 0.2311 0.0433 0.1980 0.0035 0.0343 0.0439

0.0683 0.0980 0.4529 0.1935 0.3869 0.1435 0.0326

0.0018 0.0011 0.0012 0.0003 0.0086 0.0026 0.0183

0.0346 0.0370 0.0647 0.0192 0.1630 0.1953 0.0236

0.0376 0.0440 0.0283 0.0612 0.0248 0.1125 0.0541

0.0666 0.1246 0.1173 0.1231 0.0655 0.1431 0.1494

D1

D1=

Columns 1 through 6

89 31625 30634 49670 3077 15919

Column 7

117240

D2

D2=

Columns 1 through 6

89 34787 30634 49670 3077 15919

Column 7

117240

I

I=

1 0 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0

0 0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0 1

B

B=

1.1609 0.2594 0.0313 0.0642 0.0199 0.0243 0.0287

0.2075 1.3906 0.1478 0.3248 0.0885 0.1136 0.0960

0.2914 0.4354 2.0502 0.5612 0.9873 0.5964 0.1811

0.0072 0.0098 0.0109 1.0084 0.0177 0.0129 0.0240

0.1045 0.1425 0.1998 0.1221 1.3050 0.3376 0.0763

0.0834 0.1178 0.1011 0.1284 0.0908 1.1827 0.0912

0.1846 0.3163 0.3408 0.3069 0.2690 0.3276 1.2416

X1=B*D1’

X1=

1.0e+005*

0.1627

0.7799

1.3824

0.5381

0.3503

0.4301

1.8732

X2=B*D2’

X2=

1.0e+005*

0.1709

0.8239

1.3962

0.5384

0.3548

0.4338

1.8832