4.2. Уравнения состояния для электрических цепей

Дифференциальные уравнения состояния, как правило, получают с помощью законов Кирхгофа путем выполнения преобразований по исклю­чению переменных, не являющихся переменными состояния системы. Этот традиционный путь, однако, является довольно трудоемким, если цепь содержит несколько накопителей энергии.

Известны и другие способы составления уравнений состояния. Можно предложить достаточно эффективный способ, основанный на приведе­нии исходной цепи к так называемой резистивной форме. Способ базируется на анализе состояния цепи в момент коммутации, то есть при t = 0₊. В этот момент электрическая цепь, по существу, на мгновение «вырождается» и может рассматриваться как бы со­стоящей из резисторов, искусственно введенных источников тока и ЭДС, а также источников электроэнергии, к которым подключена цепь. Такая цепь может быть описана алгебраическими уравнениями. Коэффициенты, устанавливающие связь между переменными состояния, в этом случае оп­ределяются без особого труда. Поскольку дифференциальные уравнения позволяют определить переменные состояния в любой момент времени, в том числе в момент коммутации при t = 0₊, для линейных цепей, допускающих принцип наложения, коэффициенты, полученные из алгебраических уравнений, приравниваются коэффициентам дифференциаль­ных уравнений.

При переходе к резистивной форме электрической цепи в момент t = 0₊ следует выполнить ряд условий. Индуктивности в цепи в момент коммутации следует заменить источниками тока, которые генерируют ток в том же направлении, что и в исходной цепи.

Все емкости необходимо за­менить источниками ЭДС, причем, согласно теореме о компенсации, ЭДС этих источников должны быть направлены встречно токам в ветвях с ем­костями. В результате такой замены электрическая цепь в момент t = 0₊ окажется без индуктивностей и емкостей (чисто резистивной), но с вве­денными дополнительно источниками тока и ЭДС. В процессе преобразо­вания электрической цепи к резистивной форме следует выде­лить линейную часть, состоящую из актив­ных сопротивлений и образующую много­полюсник. К узлам многополюсника не­обходимо подключить соответствующие емкости и индуктивности, не нарушая топологии цепи. В результате будет получена цепь, изображенная на (рис. 4.1).

В качестве переменных состояния удобно принять напряжения на емкостях и токи через индуктивности, так как эти величины (по законам коммутации) не могут из­меняться скачком. Согласно (рис. 4.1), вектор состояния, образованный из переменных состояния, имеет вид:

(4.9)

где m + k = n - число накопителей энергии в цепи (индуктивностей и ем­костей).

Рис.4.1. Многополюсник.

Электрическая цепь, начальное состояние которой определяется за­пасами энергии на емкостях и индуктивностях, может быть описана мат­ричным дифференциальным уравнением вида (4.4) с матрицами А и В, элементы которых необходимо определить из резистивной формы цепи. Если мы имеем, например, цепь с сосредоточенными параметрами (рис. 4.9), содер­жащую т индуктивностей, k емкостей и r внешних источников энергии, то линейная модель цепи с вектором состояния (4.9) всегда может быть представлена в виде дифференциальных уравнений с постоянными ко­эффициентами:

(4.10)

Заметим, что коэффициенты при производных в левой части уравне­ния (4.4) должны быть равны единице. Следовательно, разделив уравнения (4.10) слева и справа на соответствующие величины индуктивностей или емкостей, мы получим матрицы А и В:

(4.11)

(4.12)

Вектор источников ЭДС (токов) имеет размерность (г  l).

В процессе определения коэффициентов, входящих в уравнение (4.10), необходимо обращать особое внимание на их размерность, выра­женную в физических единицах. Левые части уравнений (4.10), где содер­жатся индуктивности, имеют размерность (В). Поэтому постоянные ко­эффициенты, находящиеся справа от знаков равенства, должны иметь раз­мерности сопротивления (Ом), если они являются сомножителями при то­ках через индуктивности, либо должны быть безразмерными, если они ум­ножаются на напряжения на емкостях.

Размерность левых частей уравнений, содержащих произведения ем­костей на производные от напряжений по времени, равна размерности тока (Ампер). Следовательно, постоянные коэффициенты в правых частях урав­нений при токах через индуктивности являются безразмерными, а при на­пряжениях на конденсаторах - имеют размерность проводимости (Сименс).

Размерности коэффициентов, являющихся сомножителями при ЭДС и токах внешних источников электроэнергии, определяются аналогично.