- •В.И. Королев, в.В. Сахаров, о.В. Шергина оценка параметров, моделирование динамических систем и электрических цепей в среде matlab
- •Санкт-Петербург
- •Рецензенты:
- •Isbn 5-88964-073-X © Королев в. И.,
- •Содержание
- •1. Идентификация параметров моделей систем на основе квадратичных методов оценивания………..……………………………………………………………........................... 11
- •Модели установившихся режимов в электрических цепях и
- •4. Модели пространства состояний в электрических цепях и
- •5. Системы и цепи под воздействием параметрических возмущений: численные и
- •6. Моделирование динамических систем и электрических цепей средствами
- •8. Моделирование технологических процессов в системах с помощью
- •Введение
- •Идентификация параметров моделей систем на основе квадратичных методов оценивания
- •Линейные модели систем Рассмотрим систему линейных уравнений
- •Рассмотрим линейное уравнение
- •Для существования точного решения уравнения (1.1) должно выполняться условие
- •1.2. Переопределенные системы уравнений. Метод наименьших квадратов
- •Введем векторы
- •1.3. Оценивание параметров периодических сигналов по экспериментальным данным
- •Таким образом, требуется оценить амплитуды и фазы
- •Разделив период t на 24 равных интервала, мы получим . Так как , то каждому будет соответствовать угол (в градусах).
- •1.4. Рекуррентный метод оценивания параметров моделей
- •1.5.Алгоритм оценивания параметров моделей в условиях ограничений
- •Минимальное значение (1.43) соответствует условию
- •1.6. Нормы оценивания параметров в теории инверсных систем
- •1.7. Оценивание параметров по критерию минимума среднего абсолютного значения остатков
- •Уравнение измерителя
- •1.8. Нелинейное оценивание параметров моделей в режиме прямых вычислений
- •1.9. Алгоритм ортогонализации в оценке параметров динамических систем
- •Рассмотрим нелинейную дискретную модель системы
- •2. Модели установившихся режимов в электрических цепях и системах
- •2.1. Пример модели цепи постоянного тока
- •Пример модели цепи переменного тока
- •2.3.Несимметричные режимы в трехфазных электрических цепях: метод симметричных составляющих
- •2.4. Модель многоузлового разветвления русла в стационарном режиме. Аналогии с электрической цепью
- •2.5. Модель твердого тела с двумя неподвижными точками
- •2.6. Многопродуктовая модель экономики: межотраслевой баланс
- •2.7. Модель оценки элементов матрицы преобразования
- •3. Динамические звенья и системы под воздействием гармонических сигналов
- •3.1.Построение частотных характеристик простых динамических звеньев
- •3.2.Резонанс в динамических системах
- •3.4. Резонанс в электрических цепях
- •3.4. Режим биений
- •4. Модели пространства состояний в электрических цепях и системах
- •4.1. Понятие состояния
- •4.2. Уравнения состояния для электрических цепей
- •4.3. Приведение к резистивной форме моделей электрических цепей с одним накопителем энергии
- •4.4. Определение коэффициентов дифференциальных уравнений моделей электрических цепей с двумя накопителями энергии
- •4.5. Электрическая цепь с четырьмя накопителями энергии
- •4.6. Примеры составления уравнений состояния rlc -цепей в матричной форме
- •Исходная цепь
- •Краткие сведения о решателях дифференциальных уравнений
- •5.2. Об аналитическом решении дифференциальных уравнений
- •5.3.Матричная форма решения уравнений состояния динамических систем
- •Моделирование динамических систем с двумя накопителями энергии при параметрических возмущениях Для определенности рассмотрим модель динамической системы с двумя накопителями энергии:
- •Моделирование –цепей. Аналитические решения
- •Сопротивления ,
- •Переходный процесс в -цепи под воздействием синусоидального входного сигнала
- •Системы, находящиеся под воздействием периодических сигналов прямоугольной формы
- •Динамические системы с двумя накопителями энергии
- •Корни комплексно-сопряженные.
- •Кратные корни.
- •Вещественные неравные корни
- •Динамические системы с тремя накопителями энергии
- •6. Моделирование динамических систем и электрических цепей средствами символьной математики
- •6.1. Символьные выражения и алгебра
- •6.2. Алгебраические и трансцендентные уравнения. Расчет цепи постоянного тока
- •Символьной алгебры
- •6.3. Символьное дифференцирование и интегрирование
- •6.4. Решение дифференциальных уравнений в символьной форме
- •6.5. Моделирование переходных процессов в электрических цепях средствами пакета символьной математики
- •6.6. Операторный метод расчета переходных процессов с использованием пакета символьной математики
- •7. Модели детерминированного хаоса и их применение
- •7.1. Дискретные динамические модели первого порядка со сложной динамикой
- •7.2. Программное обеспечение и моделирование нелинейных дискретных систем. Хаос
- •7.3. О применении нелинейных моделей систем для получения псевдослучайных хаотических последовательностей
- •Моделирование технологических процессов в системах с помощью нейронных сетей
- •8.1.Общие положения
- •8.2. Последовательность операций при создании нейронной сети в среде matlab ( Neural Networks Toolbox)
- •3. Оценка погрешности нейронной модели. Для оценки используется функция моделирования, где в скобках, согласно синтаксису, приводятся сеть и входной сигнал:
- •Моделирование уровней воды в водной коммуникации на основе нейронных сетей
- •В водной коммуникации
- •8.4. Применение нейронной сети для определения химического состава песчано – гравийной смеси
- •Моделирование технологического процесса оценки и прогноза рыночных факторов, воздействующих на работу предприятия и бизнес в классе нейронных сетей
- •Библиографический список
- •Оценка параметров, моделирование динамических систем и электрических цепей в среде MatLab
- •165300, Г. Котлас, ул. Невского, 20.
-
3.4. Резонанс в электрических цепях
Рассмотрим пассивный двухполюсник, подключенный к источнику переменной ЭДС. Двухполюсник содержит одну или несколько индуктивностей и емкостей, а также активные сопротивления. Резонансный режим двухполюсника есть режим, при котором входное сопротивление на резонансной частоте является чисто активным.
При параллельном соединении ветвей, содержащих и , на резонансной частоте в цепи наблюдается резонанс токов, а при последовательном соединении – резонанс напряжений.
Рассмотрим двухполюсник, изображенный на рис. 3.4. Комплекс тока первой ветви равен току через индуктивность , а второй – равен току через емкость . В неразветвленной части цепи ток равен:
, (3.0)
где , , ,
,
– комплексное напряжение между узлами и (рис. 3.4).
Символом обозначено число .
Резонанс токов в цепи (рис. 3.4) может быть достигнут путем изменения , , или и , то есть изменения частоты, индуктивности, емкости, либо активных сопротивлений. Из (3.20) следует, что ток является геометрической суммой токов ветвей и . Вектор тока отстает по фазе от вектора напряжения , а вектор – опережает . В режиме, отличающемся от резонансного, вектора и не совпадают по фазе. В резонансном режиме мнимая часть комплексной проводимости в формуле (3.20) равна нулю: . Следовательно, резонанс токов в цепи (рис. 3.4) наступает при выполнении условия:
(3.0)
В резонансном режиме вектора и совпадают по фазе.
При нахождении или по формуле (3.21) можно для искомой величины получить одно или два действительных значения, либо одно мнимое. В первом случае в цепи могут наблюдаться два резонансных режима. Во втором, характеризуемом мнимыми расчетными значениями или , резонанс невозможен.
В простейшем случае, когда , резонанс наступит при условии:
(3.0)
Если и можно допустить , то резонансная частота:
(3.0)
В резонансном режиме ток , потребляемый от источника электроэнергии, является минимальным. Он может быть значительно меньше, чем ток в ветвях электрической цепи. Если допустить и (условие практически невыполнимое), то для резонанса будет характерно то, что проводимость цепи должна быть близка к нулю. Это означает возрастание (почти до бесконечности) входного сопротивления на клеммах и уменьшение до ничтожно малой величины по сравнению с и .
При последовательном соединении , и в электрической цепи, приведенной на рис. 3.5, может наблюдаться резонанс напряжений.
Комплексное сопротивление цепи (рис. 3.5):
В зависимости от значения мнимой составляющей сопротивления цепи, вектор тока будет либо отставать по фазе от вектора напряжения (индуктивный характер нагрузки), либо опережать его (емкостной характер нагрузки).
В резонансном режиме и совпадают по фазе, так как:
(3.0)
Поскольку на частоте входное сопротивление цепи , действующее значение тока в цепи стремится к максимуму:
(3.0)
При выполнении условий (3.24) и (3.25), согласно второму закону Кирхгофа, напряжение на емкости должно быть равно напряжению на индуктивности:
(3.0)
Величину
(3.0)
называют добротностью резонансного контура. Добротность показывает, во сколько раз (в резонансном режиме) напряжение на индуктивности (емкости) превышает напряжение источника питания цепи . Например, добротность резонансных контуров различных радиотехнических устройств может превосходить 300-350.
Для моделирования резонансного режима в среде MatLAB используем электрическую цепь (рис. 3.5). Предположим, что параметры , , – постоянны. ЭДС источника имеет неизменную амплитуду. Частоту же этой ЭДС будем изменять, и исследуем установившиеся режимы.
Ток в цепи:
, (3.0)
где – резонансная частота.
Для выполнения расчетов и графических построений по формуле (3.28) выразим ток в относительных единицах, приняв за базовое значение ток в резонансном режиме. В результате (3.28) преобразуется к виду:
(3.0)
Вычисления по формуле (3.29) и построение резонансных кривых выполнены во второй части программы, помещенной в файле после комментария «%Electrical circuits». Вторая часть программы аналогична первой и содержит фактически те же операторы. Формула (3.29) отличается от (3.18). Она содержит в знаменателе как относительную частоту , так и переменную , обратную ей. Поэтому, чтобы исключить в процессе вычислений деления на нуль, диапазон изменения относительной частоты выбран . Введен также новый масштаб переменных по оси абсцисс и ординат (вектор ). Для записи тока цепи
в относительных единицах использован идентификатор , а формирование вектора данных во внутреннем цикле из элементов осуществлено путем наполнения . Расчеты во внутреннем цикле выпо4лнены с шагом дискретности , а во внешнем варьируется добротность в диапазоне с шагом дискретности . Таким образом, в результате вычислений получены пять кривых, которые приведены на рис. 3.6. По окончании вычислений отменен режим наложения графиков и осуществлен возврат к автомасштабированию.