7.3. О применении нелинейных моделей систем для получения псевдослучайных хаотических последовательностей
Обеспечение информационной безопасности при передаче сообщений в системах с кодовым разделением каналов является исключительно актуальной задачей. Для защиты передаваемой информации в таких системах используются шумоподобные сигналы, с помощью которых конфиденциальность передачи сообщений достигается на энергетическом, структурном уровнях, а также за счет информационной скрытности самих сообщений [21].
В последнее время появились публикации, в которых шумоподобные сигналы в системах передачи информации создаются с помощью динамических систем, обладающих хаотическими свойствами. Эти системы могут использоваться в качестве генераторов псевдослучайных последовательностей. Для генерирования псевдослучайных хаотических последовательностей используются дискретные нелинейные системы, описываемые с помощью уравнения
,
(7.17)
где
- состояние в момент
,
- состояние в последующий момент времени,
- нелинейная функция, определяющая
правило перехода в каждое последующее
состояние. К простым системам вида
(7.17) можно отнести модели дискретного
роста популяций, логистические модели
и др. Дискретные нелинейные модели,
применяемые в качестве генераторов,
как правило, имеют довольно простую
структуру, обладающую, вместе с тем,
исключительно широким спектром поведения
[37].
Первую группу моделей составляют динамические объекты, описываемые логистическими уравнениями
,
(7.18)
где
- параметр бифуркации, принимающий
значения в области хаоса, равные
.
В стационарном режиме
,
(7.19)
т.е.
мы имеем квадратичную параболу. Как
было показано выше, при изменении
координаты состояния в диапазоне
парабола равна нулю на левой и правой
границах. Максимальное значение
всегда расположено в точке с координатой
по оси
.
Ордината точки максимума равна
.
Парабола (7.19) является верхней границей
для любых процессов, описываемых
логистическим уравнением (7.18).
Вторую группу составляют так называемые тент-модели, представляемые уравнениями в дискретной форме
,
(7.20)
где
- параметр бифуркации, принимающий
значения в рабочей области, лежащие в
пределах
.
В этом случае поддерживается хаотический
режим в тент-модели (7.20). Заметим, что
если
,
процесс в (7.20) с увеличением числа шагов
стремится к устойчивому режиму, и
аттрактором является точка в начале
координат.
Третья группа
простых моделей может быть представлена
нелинейным дискретным уравнением с
кубической зависимостью последующего
состояния от состояния в момент
:
.
(7.21)
Параметр
в модели (7.21) рекомендуется изменять в
границах
,
что соответствует поддержанию хаотического
процесса в динамической системе.
Возможны другие
модели и способы получения устойчивых
-периодических
последовательностей с числом
,
стремящимся к бесконечности.
Одним из важнейших
свойств приведенных выше дискретных
динамических моделей следует считать
высокую чувствительность динамических
процессов к изменению параметра
и начальных условий, что позволяет
достаточно просто формировать большие
ансамбли устойчивых периодических
сигналов с числом бинарных элементов,
превышающим несколько десятков тысяч.
Однако следует иметь ввиду, что с
приближением
к правой границе (например,
для модели (7.18)) периодичность может
нарушаться, поскольку число элементов
псевдослучайной хаотической
последовательности может приближаться
к нескольким миллионам, и период из
-периодической
последовательности в этом случае сравним
с машинным «нулем». Процесс становится
не хаотическим, а стохастическим. Он не
пригоден для получения бинарной
псевдослучайной хаотической
последовательности.
Для изучения свойств моделей (7.18), (7.20) и (7.21) в хаотических режимах нами разработаны алгоритмы и их программная поддержка в форме файлов, составленных в среде MatLAB. На рис. 7.6 и 7.7 приведены аттракторы хаотических процессов, полученные, соответственно, для моделей (7.18) и (7.20). В частности, решение, представленное на первом рисунке, получено с помощью файла sah46.m, приведенного в предыдущем параграфе. Для тент-модели использовался файл sah434.m ( см. ниже).
Выбраны следующие значения параметров:
- для модели (7.18):
,
,
- для модели (7.20):
,
,
Получение псевдокодов на основе хаотических процессов производится по соответствующим правилам, аналогичным получению псевдослучайных последовательностей шумоподобных сигналов в результате клиппирования. Использование различных моделей в хаотических режимах позволяет расширить область применения технологии полистанционного доступа с кодовым разделением каналов передачи информации и обеспечить высокий уровень конфиденциальности сообщений.
Рис.7.6. Хаос в логистической системе
% File sah434.m
% Tent map.
r=0.85;
x=0:0.01:1;
y1=r*(1-abs(2*x-1));
y2=x;
plot(x,y1,x,y2)
hold on
Рис. 7.7. Хаос в тент-модели дискретной системы
%===================
n=15;
x=0.4;
y=0.0;
s=[];
s1=[];
for k=1:n;
s=[s;x;x];
ya=r*(1-abs(2*x-1));
s1=[s1;y;ya];
y=ya;
x=y;
end
plot(s,s1),grid
hold off
Из приведенного текста файла sah434.m видно, что для его построения выбрана структура, аналогичная структуре построения sah46.m. Он реализует технологический процесс, согласно модели (7.20).