1. Динамические системы с двумя накопителями энергии

Для динамических систем, содержащих одну массу и одну пружину (аналогично – в электрических цепях – индуктивность и емкость) и находящихся под действием постоянной силы (постоянной ЭДС источника электроэнергии), можно предложить решения в аналитическом виде. Действительно, при наличии двух накопителей электроэнергии матрицы в уравнении (5.48) можно записать: , .

Сила, воздействующая на систему, на интервале приводит к изменению переменных состояния – перемещения и скорости тела. Если и вектор начальных условий (на левой границе) равен , то поведение динамической системы будет зависеть от корней характеристического уравнения (собственных значений матрицы ).

Корни комплексно-сопряженные.

Это условие выполняется при таких численных значениях элементов матрицы, которые отвечают неравенству:

, (5.0)

поскольку собственные значения

(5.0)

Неравенство (5.51) характеризует малый уровень диссипации (рассеяния) энергии, что приводит к появлению колебательных режимов в электрических цепях и динамических системах.

Искомые переменные состояния определим с помощью следующих зависимостей:

(5.0)

(5.0)

В уравнениях (5.535.54) расчетные коэффициенты находятся с помощью следующих соотношений:

; , (5.0) , (5.0) , (5.0) (5.0)

Нетрудно видеть, что при аргумент .

Коэффициенты, входящие в уравнение (5.54), вычисляются по формулам:

, (5.0) , (5.0) , (5.0)

причем , если .

Кратные корни.

Из (5.52) следует, что , если выражение под корнем равно нулю:

(5.0)

Режим, характеризуемый равенством (5.62), может быть получен путем изменения коэффициентов и (увеличение активного сопротивления в электрической цепи, либо коэффициента при первой производной в дифференциальном уравнении динамической системы второго порядка). На практике этот режим встречается достаточно редко. Однако, решения уравнений для этого режима также полезно привести:

(5.0) (5.0)

В уравнениях (5.63) и (5.64) коэффициенты , , и вычисляются по следующим формулам:

(5.0) (5.0) (5.0) (5.0)

Параметр определяется, как и ранее, с помощью уравнения (5.55).

Вещественные неравные корни

Дальнейшее увеличение рассеяния энергии в системе ведет к тому, что:

, (5.0)

собственные значения матрицы становятся вещественными и различными, а переходный процесс – апериодическим. Для расчета переменных состояния можно использовать следующие зависимости:

(5.0) (5.0) (5.0)

Коэффициенты , , , и определяются с помощью ранее приведенных уравнений (5.555.60). Для справки напомним, что гиперболический синус и косинус вычисляются с помощью экспонент:

.

Полученные зависимости (5.515.72) приведены для расчета переходного процесса на -ом участке (временном интервале). Исходными данными для расчета на -ом интервале должны быть, естественно, соответствующие , и сила , а также

.

При этом начальные условия должны быть равны конечным условиям на -ом интервале: и .

Отметим также, что полученные формулы могут быть легко запрограммированы, а выбор одной из трех групп формул для расчета может быть произведен по результатам оценки, выполненной с помощью соотношений (5.51), (5.62) и (5.69).