-
Системы, находящиеся под воздействием периодических сигналов прямоугольной формы
Рассмотрим отдельно класс динамических систем вида:
, (5.0)
где
вектор
на временном интервале
может принимать кусочно-постоянные
значения. В теории дифференциальных
уравнений модели вида (5.42) принято
называть уравнениями с разрывной правой
частью. К этому классу можно отнести,
например, электрические цепи, находящиеся
под действием ЭДС в форме прямоугольных
импульсов,
– периодические системы, преобразователи
энергии со скачкообразно изменяющимися
параметрами и структурой линейной
модели и др. При оптимальном управлении
по критерию максимального быстродействия
(минимума времени переходного процесса)
вектор управления
также изменяется в виде сигналов
прямоугольной формы, и для найденных
моментов переключения переходный
процесс может определяться с помощью
приведенных ниже аналитических
зависимостей. Наконец, часто нелинейные
системы могут анализироваться как
кусочно-линейные. При этом их динамические
свойства описываются линейными
дифференциальными уравнениями вида
(5.42) с различными матрицами
,
и элементами вектора
для различных участков (временных
интервалов) рабочего цикла систем.
Расчет переходных процессов в системах рассматриваемого класса состоит в решении матричного линейного дифференциального уравнения (5.42) в общем виде отдельно для каждого участка процесса, на котором это уравнение справедливо. Связь решений на соседних участках (временных интервалах) осуществляется на границах с помощью векторов начальных условий. Значения переменных состояния в конце первого участка служат начальными условиями второго участка и т.д.
Техника решения состоит в следующем.
Предположим, что
временной интервал
можно разделить на
участков (не обязательно равной
продолжительности).
На первом участке
,
где
,
в уравнении (5.42)
,
и вектор входных сигналов
– вектор-столбец, содержащий постоянные
элементы. Уравнение
(5.0)
должно
решаться при известном векторе начальных
условий
.
Решение в матричной форме имеет вид:
(5.0)
По окончании первого интервала
.
Конечное значение
(правую границу решения на первом
участке) считаем равным начальному
условию на втором участке:
,
то есть
(5.0)
Заметим, что
основные переменные состояния (токи
через индуктивности и напряжения на
емкостях) не могут изменяться скачком,
согласно первому и второму законам
коммутации. Поэтому будет соблюдаться
равенство (5.45). В момент переключения
параметры и структура динамической
системы могут изменяться скачком.
Поэтому матрицы состояния, управления
и вектор входных сигналов запишем с
индексом «2»:
,
,
.
При этом предполагается, что элементы
матриц на втором участке в последующем
до
не изменяются. Переходный процесс
определим по формуле:
(5.0)
В конце второго интервала
.
Для связи решений на границе второго и третьего участков необходимо правую границу второго участка приравнять левой границе третьего участка, то есть:
, (5.0)
и
решать аналогичную задачу с учетом
изменившихся скачком параметров системы
на границе
,
то есть системы с матрицами
,
и вектором
.
Таким образом,
переходный процесс на
-ом
участке определится с помощью уравнения:
, (5.0)
где
(5.0)
есть левая граница решения (считаем направление оси времени слева – направо), а вектор-столбец
(5.0)
– правая
граница, являющаяся левой границей для
решения матричного уравнения на участке
.
Решение линейного
дифференциального уравнения при заданных
начальных условиях и известном внешнем
воздействии является единственным.
Поэтому, продолжая решение по аналогии
до
-го
участка включительно, мы получим
единственное значение
на правой границе, а также единственное
значение вектора состояния в любой
интересующий нас момент на всем рабочем
временном интервале
,
где
.
Описанная процедура решения известна в теории управления как метод припасовывания. Метод широко используется для определения как переходных процессов, так и периодических решений (автоколебаний и вынужденных колебаний) в нелинейных системах.