Задание 4

7. Изучается зависимость уровня инфляции (X) и курса доллара (Y):

X	10	-3	4	5	-2	4	3	2	3	-4
Y	3	0,5	1	1	-2	1	-1	1,5	2	-1

1) Построить диаграмму рассеяния и сделать вывод о виде взаимосвязи.

2) Вычислить выборочный коэффициент корреляции и сделать вывод о силе взаимосвязи.

3) На уровне значимости α = 0,05 проверить значимость коэффициента корреляции.

Задание 5

8. Решить графически задачу линейного программирования:

9. Решить транспортную задачу, определяемую указанной таблицей:

		Потребители			Накопленный запас груза
		В1	В2	В3
Поставщики	А1	3	2	4	70
	А2	9	7	10	60
	А3	5	7	8	50
Спрос		30	80	40

РЕШЕНИЕ ТИПОВОГО ВАРИАНТА

Задание 1

Пример 1. Из ящика, содержащего 20 стандартных и 5 бракованных изделий, случайным образом извлекаются 2 изделия. Какова вероятность того, что не менее одного из них окажется стандартным?

Решение. Воспользуемся классическим определением вероятности:

где m – число равновозможных элементарных событий, благоприятствующих появлению события А;

n – число всех равновозможных элементарных событий.

По условию задачи m – это число способов, которыми можно выбрать не менее одного стандартного изделия, т.е. 1 стандартное изделие из 20 и 1 бракованное из 5 изделий или 2 стандартных изделия и 0 бракованных. Так как порядок выбора изделий не имеет значения, то для вычисления количества комбинаций воспользуемся формулой числа сочетаний

.

Таким образом,

m = ∙ + = = 20∙5 + 190= 290.

По условию задачи n – это число способов, которыми можно выбрать 2 изделия из общего количества, т.е. из 25 изделий. Следовательно,

Итак,

= ≈ 0,967.

Ответ: Вероятность того, что не менее одного изделия из 25 окажется стандартным, равна 0,967.

Пример 2. Проведены три независимых измерения некоторой физической величины. Вероятность того, что при первом измерении ошибка превысит заданную точность, равна 0,015; при втором и третьем − 0,01. Вычислить вероятности следующих событий:

1. В = {только в одном из трех измерений ошибка превысит заданную точность};

2. С = {во всех трех измерениях ошибки не превышают заданную точность};

3. D = {хотя бы в одном измерении ошибка превышает заданную точность}.

Решение. Введем обозначения:

событие A₁ = {в первом измерении ошибка превысит заданную точность},

событие A₂ = {во втором измерении ошибка превысит заданную точность},

событие A₃ = {в третьем измерении ошибка превысит заданную точность}.

По условию задачи: P(A₁) = 0,015; P(A₂) = P(A₃) = 0,01. Вероятности противоположных событий (ошибка измерения не превысит заданную точность) будут соответственно равны:

Р() = 1 − P(A₁) = 1 − 0,015 = 0,985;

Р() = 1 − P(A₂) = 1 − 0,01 = 0,99;

Р() = 1 − P(A₃) = 1 − 0,01 = 0,99.

1) Составим событие В = {только в одном из трех измерений ошибка превысит заданную точность}, т.е. ошибка превысит заданную точность или только в первом измерении, или только во втором, или только в третьем измерении, т.е.

.

Так как события несовместные, то вероятность их суммы равна сумме их вероятностей, т.е.

.

По условию задачи события независимые, поэтому вероятность произведения событий равна произведению вероятностей этих событий. Следовательно, вероятность события В равна

,

P(B) = 0,015·0,99·0,99 + 0,985·0,01·0,99 + 0,985·0,99·0,01 ≈ 0,034.

2) Составим событие С = {во всех трех измерениях ошибки не превысят заданную точность}, т.е. событие С состоит в совместном наступлении событий , т.е.

.

Вероятность этого события равна

P(C) = 0,985·0,99·0,99 ≈ 0,965.

3) Для вычисления вероятности события D = {хотя бы в одном измерении ошибка превысит заданную точность} используем вероятность противоположного события во всех трех испытаниях ошибки не превысят допустимую точность}:

.

Отсюда

.

Событие совпадает с событием С из пункта 2, следовательно, = P(C) = 0,965. Итак,

.

Ответ: Р(В) = 0,034; Р(С) = 0,965; Р(D) = 0,035.

Пример 3. Доля изделий высшего сорта на данном предприятии составляет 30%. Найти вероятность того, что

1. среди 200 выбранных изделий ровно 75 изделий высшего сорта;

2. в партии из 200 изделий число изделий высшего сорта заключено в интервале от 80 до 120.

Решение: 1) Если число испытаний велико (n = 200), а вероятность появления события в каждом испытании постоянна, то для решения задачи воспользуемся локальной теоремой Муавра-Лапласа:

где .

По условию задачи n = 200; m = 75; p = 0,3; q = 1 – p = 0,7.

Вычисляем х:

По таблице 1 приложения находим . Подставив это значение в формулу вероятности, получим

2) Если количество испытаний велико, а вероятность появления события в каждом испытании постоянна, то для вычисления вероятности того, что событие наступит не менее m₁ раз и не более m₂ раз, используется интегральная теорема Муавра-Лапласа:

P(m₁, m₂) ≈ Ф(x₁) − Ф(x₂),

где

По условию n = 200; m₁ = 80; m₂ = 120, p = 0,3; q = 1 – p = 0,7.

Вычисляем:

По таблице 2 приложения находим Ф (3,09) = 0,49898 и Ф (9,26) = 0,5 (т.к. ). Следовательно,

P(80, 120) = 0,5 − 0,49898 = 0,00102.

Ответ: 1) = 0,0043; 2) P(80; 120) ≈ 0,001.