§5. Бесконечность и непрерывность вообще

112. Большинство математиков, которые в течении двух последних поколений занимались дифференциальным

исчислением, считали, что бесконечно малое количество - это абсурд; и все же со свойственной им

осторожностью они добавляли: "Или во всяком случае понятие бесконечно малого настолько сложно, что мы

практически не можем помыслить его с уверенностью и гарантией". Соответственно, учение о пределах было

изобретено, чтобы избежать сложности, или, как говорят некоторые, чтобы объяснить значение слова "бесконечно

малый". Эта теория в том или ином виде преподается в учебниках, хотя в некоторых из них только в качестве

альтернативной точки зрения на проблему; она достаточно хорошо отвечает целям исчислений, хотя даже при

таком применении может столкнуться с трудностями.

113. Освещение предмета посредством строгого исчисления логики отношений ясно и очевидно показало мне, что

идея бесконечно малых не чревата никакими противоречиями, еще до того, как я ознакомился с работами д-ра

Георга Кантора (хотя многие из них уже появились в Matbematiche AnncUen и Borcbardt's Journal, если даже в Acta

348

Mathematica, то, во всяком случае, во всех перворазрядных математических журналах, в которых та же точка

зрения изложена с необыкновенной одаренностью и проникновенной логикой.

Преобладающее мнение состоит в том, что конечные числа - единственные, которые мы можем помыслить, по

крайней мере посредством обычного модуса мышления, или, как определяют это некоторые авторы, это -

единственные числа, которые можно помыслить с математической точки зрения. Но это - иррациональное

предубеждение. Уже давно я доказал, что конечные множества отличаются от бесконечных только одним

обстоятельством и его последствиями, а именно тем, что к ним применим особый необычный вид мышления,

который его открыватель, де Морган, назвал "силлогизмом транспонируемого количества."

Бальзак во введении к своей "Физиологии брака", замечает, что любой молодой француз хвалится тем, что хоть

раз соблазнил француженку. Итак, если женщину можно соблазнить лишь раз, и француженок не больше, чем

французов, из этого следует, что если вышеупомянутая похвальба достоверна, ни одна француженка не избежала

соблазнения. Если бы их число было конечным, подобный ход мышления срабатывал бы. Но поскольку население

непрерывно растет, и соблазненные в среднем моложе соблазнителей, этот вывод не обязательно достоверен.

Подобным образом Де Морган, в качестве актуария [1], мог утверждать, что если страховая компания платит

застрахованным в среднем больше, чем они когда-либо платили компании, включая проценты, то она должна

терпеть убытки. Однако каждый современный актуарий увидит здесь ошибку, так как бизнес непрерывно растет.

Но стоит войне или любой катастрофе ограничить со-

1 Актуарий - статистик страхового общества.

349

словие страхуемых, как в результате вывод станет до боли достоверным. Два вышеупомянутых рассуждения

являются примерами силлогизмов транспонируемого количества.

К положению о том, что конечные и бесконечные множества различаются в силу того, что к первым применим

упомянутый силлогизм транспонируемого количества, следует относиться как к основному положению научной

арифметики.

Если человек не знает, как рассуждать логично, - а я должен отметить, что большинство довольно хороших, да и

выдающихся математиков, подпадают под эту категорию, - но просто пользуется счетом на пальцах, слепо делая

выводы по аналогии с другими выводами, которые оказались правильными, он, конечно, будет постоянно делать

ошибки в отношении нон-финитных чисел. Истина заключается в том, что такие люди вообще не рассуждают.

Однако для того меньшинства, что способно рассуждать, рассуждение о нон-финитных числах оказывается проще,

чем рассуждение о числах финитных, поскольку [в первом случае] не требуется сложный силлогизм

транспонируемого количества. Например, то, что целое больше своих частей, не является аксиомой, в отличии от

мнения Евклида, в высшей степени плохого логика. Это теорема, легко доказуемая с помощью силлогизма

транспонируемого количества, но не иначе. Она верна в отношении конечных множеств, но ошибочна в

отношении бесконечных. Так, четные числа являются частью целых чисел. Тем не менее, четных чисел не меньше,

чем всех целых чисел, это несложная теорема, поскольку если любое число в целом ряде целых чисел удвоится,

результатом будет ряд четных чисел:

1, 2, 3, 4, 5, 6 и т.д

2, 4, 6, 8, 10, 12итд.

350

Так что для каждого числа существует отдельное четное число. На самом деле существует столько же отдельных

удвоенных чисел, сколько существует вообще отдельных чисел. Но все удвоенные числа являются четными.<...>.

118. Очевидно, что существует столько же точек на линии или во временном интервале, сколько действительных

чисел вообще Это, соответственно, неисчислимые множества. Многие математики весьма опрометчиво

предположили, что точек на поверхности или в твердом теле больше, чем на линии Однако это положение было

опровергнуто Кантором Действительно, очевидно, что любому множеству значений координат соответствует

единственное отдельное число Предположим, что все значения координат расположены между 0 и +1. Тогда, если

мы составим число, поставив на место первого десятичного знака первую цифру первой координаты, на второе -

первую цифру второй координаты и т. д., и если первые цифры, распределенные таким образом, переходят ко

вторым цифрам и распределяют их подобным же образом, то становится ясно, что значения координат могут

считываться с единственного получившегося числа, так, что триада или тетрада чисел, в которых каждое имеет

неисчислимое множество значений, имеет не больше значений, чем единственное иррациональное число.

Если число измерений будет бесконечным, результат будет другим, и совокупность бесконечных множеств чисел,

каждое из которых имеет неисчислимое количество значений, могла бы быть поэтому больше, чем простая

несчетная совокупность, и могла бы быть названа неограниченно бесконечной (endlessly infinite) Однако же

отдельные члены такой совокупности нельзя было бы обозначить даже приблизительно, так что это действительно

величина, которую возможно помыслить только наиболее общим способом, если вообще возможно.

351

119. И все-таки, несмотря на то, что существует лишь две степени величин бесконечных множеств, когда на

порядок, в котором даны индивидуальные члены, налагаются определенные условия, возникает разграничение

величин. Таким образом, если простые неограниченные ряды удвоить посредством разделения каждого элемента

на две части, причем последовательность первых и вторых частей взять в том же порядке, что и исходные

элементы, этот двойной неограниченный ряд, поскольку он дан в таком порядке, станет в два раза больше, чем

исходный ряд. Аналогично, при сохранении порядка непрерывности, произведение двух неисчислимых

совокупностей, то есть множеств всевозможных пар, составленных из одного элемента каждой совокупности,

оказывается в силу порядка бесконечно больше каждого из исходных множеств.

120. И вот мы подошли к трудному вопросу: что же такое непрерывность? Кант смешивает ее с бесконечной

делимостью, утверждая, что основное свойство непрерывного ряда заключается в том, что между любыми его

двумя членами всегда можно найти третий. Этот анализ отличается поразительной ясностью и определенностью;

однако, к сожалению, он рушится после первого же испытания. Ибо согласно ему, полный ряд рациональных

дробей, упорядоченный в порядке возрастания, представлял бы собой бесконечный ряд, хотя рациональные дроби

исчислимы, в то время как точки, [составляющие] линию, неисчислимы. И даже еще хуже, если из этого ряда

дробей удалить любые две, со всем тем, что находится между ними, и сделать любое количество подобных

конечных пробелов, то определение Канта будет истинным в отношении ряда, но утратит всякое подобие

непрерывности.

Кантор определяет непрерывный ряд, как сцепленный и совершенный. Под сцепленным рядом он имеет в виду

352

тот, в котором при условии данности любых двух точек и любого конечного расстояния, независимо от его

малости, можно продвинуться от первой точки ко второй через последовательность точек в ряду, при том, что

каждая точка будет находиться на меньшем расстоянии от предыдущей, чем исходное. Это справедливо в

отношении ряда рациональных дробей, расположенных по мере их возрастания. Под совершенным рядом он имеет

в виду ряд, который содержит любую точку так, что нет расстояния настолько малого, чтобы эта точка не имела

бесконечного количества точек ряда внутри данного расстояния. Это верно для ряда чисел от 0 до 1, которые

можно выразить посредством десятичных дробей, где есть только нули и единицы.

Следует признать, что определение Кантора включает каждый непрерывный ряд; нельзя также возразить на то, что

он включает какой-нибудь значительный и бесспорный случай ряда, не являющегося непрерывным. Тем не менее,

это определение имеет серьезные недостатки. В первую очередь оно зависит от метрических соображений, в то

время как разграничение между непрерывными и прерывными рядами, по всей очевидности, метрическим не

является. Кроме того, совершенный ряд определяется как содержащий "любую точку" определенного вида.

Однако не сообщается никакого позитивного представления о том, чем являются все точки сразу: это -

определение посредством отрицания, и оно не может быть признано. Если допустить подобные вещи, будет очень

легко сразу сказать, что непрерывный линейный ряд точек - это тот, который содержит любую точку линии

между ее оконечностями Наконец, определение Кантора не дает отчетливого понятия о том, чем являются

компоненты понятия непрерывности. Оно бесхитростно заключа-

353

ет его свойства в две отдельные посылки, но не демонстрирует их нашему разуму.

Определение Канта выражает одно простое свойство континуума; однако внутри ряда оно допускает пробелы.

Чтобы внести поправку в это определение, необходимо проследить, как эти пробелы могут возникать.

Предположим, что линейный ряд точек простирается от точки А до точки В, имеет пробел между В и третьей

точкой С и далее протянется до конечного предела D; и предположим, что этот ряд сообразуется с определением

Канта. Тогда из ряда необходимо будет исключить одну точку В или обе точки В и С; в противном случае, по

определению, между ними возникнут еще точки. То есть, если ряд содержит С, то хотя он и содержит все точки

вплоть до В, он не может содержать В. Поэтому если что и требуется, так это констатировать - но не в

метрических терминах, - что если ряд точек до какого-то предела включен в континуум, то будет включен и сам

предел. Можно заметить, что это - то свойство континуума, на которое, похоже, обратил внимание и Аристотель,

когда он определял континуум как нечто, чьи части имеют общий предел. Свойство это можно констатировать

следующим образом: если линейный ряд точек между двумя точками, А и D, непрерывен и если взять

бесконечный ряд точек, первый из них между А и D, а каждый из других между предыдущим и D, тогда

существует точка непрерывного ряда, расположенная между всеми этими бесконечными рядами точек и D, причем

так, что, каждая другая точка, в отношении которой это истинно, находится между этой точкой и D. Возьмем

любое число между 0 и 1, например, 0,1; далее любое число между 0,1 и 1, например, 0,11; далее любое число

между 0,11 и 1, такое, как 0,111; и т.д. до бесконечности. Тогда, поскольку ряд действительных чисел между 0 и 1

непрерывен, должно существовать минимальное действительное число, большее, чем каждое

354

число этого бесконечного ряда. Это свойство, которое можно назвать аристотеличностью ряда, вместе с его кан-

товостью завершает определение непрерывного ряда.

123. Свойство аристотеличности можно грубо задать следующим образом: континуум содержит конечную точку,

принадлежащую каждому бесконечному ряду точек, ко- торые он содержит. Очевидное естественное следствие

состоит в том, что каждый континуум содержит свои же пределы. Но пользуясь этим принципом, необходимо еле-

дить за тем, чтобы ряд был непрерывным всегда, кроме единственного случая, один или оба его предела опущены.

124. Наши идеи найдут более подходящее выражение, если вместо точек на линии мы будем говорить о

действительных числах. Каждое действительное число является в каком-то смысле пределом последовательности,

ибо к нему можно бесконечно приближаться. Вопрос о том, является ли каждое число пределом регулярной

последовательности, может вызывать сомнения. Но последовательности, подпадающие под определение

Аристотеля, должны пониматься как включающие все ряды, независимо от их ре- гулярности. Следовательно,

имеется в виду, что между любыми двумя точками могут возникнуть неисчислимые ряды точек.

125. Любое число, выражение которого в десятичных знаках требует лишь конечного числа десятичных знаков,

является рациональным. Поэтому, иррациональные чис-ла предполагают бесконечное (infinitieth) количество

десятичных знаков. Слово "инфинитезимальный" (бесконечно малый) является всего лишь латинской формой

(infinitieth - порядковое числительное), образованной от infinitum, так же как слово "сотый" (centesimal)

образовано от centum. Таким образом, непрерывность предполагает бесконечно малые количества. В идее

подобных количеств нет ничего противоречивого. При сложении и

355

умножении их непрерывность не должна нарушаться, а следовательно, они в точности подобны другим

количествам, кроме того, что ни силлогизм транспонируемого количества, ни вывод Ферма по отношению к ним

неприменимы.

Если А - это конечное количество, a i - бесконечное малое, тогда в определенном смысле мы можем написать

A+i =A. То есть, это так для любых целей исчислений. Но этот принцип должен применяться только в том случае,

когда мы хотим избавиться от всех наличествующих бесконечно малых элементов самого высокого порядка. Как

математик я предпочитаю метод бесконечно малых методу пределов, как несравненно более легкий и не кишащий

ловушками. Действительно, последний метод, в том виде, как он определяется в некоторых книгах, включает

теоремы, которые являются ложными; но это не так в случае с формами метода, употребляемого Коши, Дюамелем,

и другими. Они понимают учение о пределах так, что оно влечет за собой понятие непрерывности и поэтому

содержит те же самые идеи, что и учение о бесконечно малых, хотя и в иной форме.

126. Рассмотрим один аспект аристотелианского принципа, особенно важный для философии. Предположим, что

поверхность частично красная, частично синяя, так что каждая точка на ней или красная, или синяя; разумеется, ни

одна часть не может быть одновременно и красной, и синей. Что же тогда является пограничным цветом между

красным и синим? Ответ таков: для того, чтобы вообще существовать, красный, либо синий должны быть

распределены по поверхности; а цвет поверхности - это цвет поверхности в непосредственной близости точки. Я

намеренно пользуюсь расплывчатым стилем выражения. Теперь, поскольку части поверхности в непосредственной

близости от любой обычной точки на извилистой

356

границе наполовину красные, наполовину синие, из этого следует, что и граница наполовину красная, наполовину

синяя. Аналогичным образом мы приходим к необходимости считать, что сознание по сути своей занимает время;

и то, что налично в разуме в любое обычное мгновение, - это наличное в течение момента, в котором это

мгновение имеет место. Таким образом, настоящее наполовину прошедшее, а наполовину грядущее. И опять-таки

цвет частей поверхности на каком-то конечном расстоянии от некоей точки не имеет никакого отношения к ее

цвету именно в этой точке; и, параллельно, чувствование любого конечного интервала из настоящего не имеет

никакого отношения к настоящему чувствованию, кроме как через замещение. Возьмем другой случай: скорость

частицы в любое мгновение времени является средней скоростью в течение бесконечно малого мгновения, в

котором содержится это время. Таким же образом мое непосредственное ощущение - это мое ощущение в

продолжение бесконечно малой длительности, содержащей настоящее мгновение.