Обобщенный закон Гука для изотропного тела
Согласно закону Гука в направлении каждого нормального напряжения (рисунок3.3) происходит продольная деформация (1.3). Одновременно, согласно эффекту Пуассона, в поперечных направлениях происходят противоположные по знаку деформации (1.6). Таким образом, в каждом из трех направлений проходит по одной продольной и по две поперечной деформации (таблица 3.1).
Складывая эти деформации, получим суммарные относительные удлинения в направлении напряжений σx, σy, σz:
|
(3.36) |
.
Таблица 3.1.
Удлинение |
от σx |
от σy |
от σz |
В направлении σx |
|
|
|
В направлении σy |
|
|
|
В направлении σz |
|
|
|
Связь между угловыми деформациями и касательными напряжениями устанавливается в пределах упругих деформаций законом Гука при сдвиге (3.34):
|
(3.37) |
.Равенства (3.36), (3.37) являются выражением закона Гука в наиболее общем для изотропного тела случае – при объемном напряженном состоянии и объемной деформации. Выражение закона Гука при плоском и линейном напряженном или деформированном состояниях можно получить из этих уравнений путем исключения из них напряжений или деформаций равных нулю.
С помощью уравнений (3.36) можно вычислить объем элементарного параллелепипеда после деформации:
|
(3.38) |
или
|
(3.39) |
,
где Vo - объем до деформации.
Пренебрегая произведениями деформаций, получим относительное изменение объема:
|
(3.40) |
.Подставляя в (3.40) вместо их значения по формулам (3.36), получим выражение относительной объемной деформации:
|
(3.41) |
.Выражение (3.41) показывает, что коэффициент Пуассона не может быть больше 0.5. При μ=0.5 изменения объема не будет.
Удельная потенциальная энергия деформации
В общем случае нагружения тела по граням элемента с размерами ребер dx, dy, dz будут действовать как нормальные, так и касательные напряжения. Потенциальная энергия, накопленная в этом элементе при деформации тела будет равна сумме работ внешних для выделенного элемента нормальных сил dNx=σxdydz, dNy=σydxdz, dNz=σzdxdy на удлинения ребер параллелепипеда Δdx=εxdx, Δdy=εydy, Δdz=εzdz и касательных сил dQxy=τxydydz, dQxz=τxzdxdy, dQyz=τyzdxdz на соответствующих им перемещениях γxydx, γxzdz, γyzdy граней элемента (см. рисунок 3.13):
|
(3.42) |
.
Рисунок 3.13. Работа нормальных и касательных сил
Удельная потенциальная энергия, то есть энергия, накопленная в единице объема элемента, будет равна:
|
(3.43) |
.Если выразить компоненты деформаций через компоненты напряжений с помощью уравнений (3.36), (3.37) обобщенного закона Гука, то выражение для u запишется в следующем виде:
|
(3.44) |
.Предположим, что напряженное состояние в точке тела задано тензором напряжений
|
(3.45) |
.Представим этот тензор в виде суммы двух тензоров:
,
где
|
(3.46) |
;
- шаровой тензор, а
|
(3.47) |
- девиатор напряжений.
Представление тензора напряжений в виде суммы двух тензоров равносильно представлению данного напряженного состояния (рисунок 3.14) в виде суммы двух напряженных состояний.
Удельная потенциальная энергия деформации при всестороннем растяжении с напряжением σm определяется из уравнения (3.44):
|
(3.48) |
и называется удельной потенциальной энергией изменения объема, так как изменение объема зависит только от суммы нормальных напряжений (см. уравнение (3.41)).
Удельная потенциальная энергия деформации для элемента, по граням которого действуют компоненты девиатора напряжений, определяется после соответствующих преобразований из следующего уравнения:
|
(3.49) |
и называется удельной потенциальной энергией изменения формы. Очевидно, что удельная потенциальная энергия изменения формы в случае всестороннего растяжения с компонентами шарового тензора равна нулю. Точно также удельная потенциальная энергия изменения объема для элемента с компонентами девиатора напряжений равна нулю.
Рисунок 3.14. Представление напряженного состояния в виде суммы двух напряженных состояний