Пример 10.2

Определить, во сколько раз напряжения в опасной точке бруса круглого поперечного сечения при внецентренном приложении нагрузки больше, чем при центральном ее приложении (рисунок 10.8).

Рисунок 10.8.

При внецентренном приложении нагрузки в поперечных сечениях бруса действует осевая сила N=P и изгибающий момент M_z=Pd/2. Наиболее удалены от нейтральной линии точки с координатами z=0, y=a=d/2. Напряжения в этих точках

Таким образом, напряжение в опасной точке при внецентренном приложении нагрузки в семь раз больше, чем при центральном ее приложении. Этот результат показывает, насколько важно для уменьшения напряжений обеспечивать центральное приложение нагрузки.

Пример 10.3

На кромке стального бруса квадратного поперечного сечения 100х100 мм, растягиваемого силой P=10⁶ Н, появилась трещина (рисунок 10.9). Чтобы трещина не распространялась, на ее месте была вырезана галтель глубиной 20 мм. Определить, во сколько раз увеличились напряжения в опасной точке бруса.

При центрально приложенной силе (рисунок 10.9 а) напряжения равны

При наличии галтели (рисунок 10.9 б) центр тяжести сечения смещается вправо на величину e=10 мм, то есть точка приложения силы P смещается относительно центра тяжести и имеет место внецентренное растяжение.

Рисунок 10.9.

Напряжения при этом равны

Таким образом, напряжения возрастают более чем в 2 раза. Если такую же галтель вырезать с противоположной стороны бруса (рисунок 10.9 в), то будет иметь место центральное растяжение. С учетом уменьшения площади сечения, имеем

Изгиб с кручением

На практике часто встречаются стержни круглого и некруглого сечений, подверженные одновременному действию крутящих и изгибающих моментов.

Такому нагружению подвержены валы машин и механизмов (давление зубчатых колес или натяжение ремней, собственный вес вала и шкивов), элементы авиационных конструкций (аэродинамические нагрузки, действующие на крыло и оперение самолета) и многих других конструкций и сооружений.

Для расчета бруса в первую очередь необходимо установить опасные сечения. С этой целью должны быть построены эпюры изгибающих моментов и крутящего момента.

Рассмотрим брус круглого поперечного сечения, нагруженный внешними изгибающими моментами и крутящим моментом, как показано на рисунок 10.10. Произвольное поперечное сечение бруса представлено на рисунок 10.11 со стороны внешней нормали к сечению.

Рисунок 10.10.

Рисунок 10.11.

Применяя векторное изображение изгибающих моментов M_y и M_z, найдем вектор результирующего момента . Положение силовой линии определяется перпендикуляром к указанному направлению вектора . Опасными являются точки пересечения контура сечения вала с силовой линией, в которых одновременно и нормальные напряжения от изгиба и касательные напряжения от кручения имеют наибольшие значения:

,	(10.19)
.	(10.20)

С учетом положения силовой линии на рисунок 10.11 построена эпюра нормальных напряжений и показано распределение касательных напряжений.

Выделим в окрестности опасной точки A бесконечно малый элемент кубической формы (рисунок 10.11). По четырем граням выделенного элемента действуют касательные напряжения, а к двум из этих четырех граней приложены еще и нормальные напряжения (рисунок 10.12). Остальные две грани свободны от напряжений. Таким образом, в отличие от косого изгиба, при изгибе с кручением элемент в опасной точке находится в плоском напряженном состоянии. Аналогичные напряжения на гранях элемента мы имели при изучении главных напряжений в изгибаемом брусе (формулы (8.23), (8.24)). Поэтому главные напряжения определяются по тем же формулам:

(10.21)

Рисунок 10.12.

Для проверки прочности элемента, выделенного в окрестности опасной точки, необходимо выбрать соответствующую теорию прочности. Например, по теории наибольших касательных напряжений: