Плоское напряженное состояние

Плоское напряженное состояние имеет место во всех случаях, когда компоненты напряжений параллельны одной плоскости, например, при σ_x, σ_y, τ_xy, τ_yx не равных нулю, и σ_z, τ_zx, τ_xz, τ_zy, τ_yz - равных нулю (рисунок 3.7).

Рисунок 3.7. Плоское напряженное состояние

Главные напряжения определяются из уравнения (3.18).

.

(3.23)

Раскрыв определитель, получим:

.

(3.24)

Решение s=0 приводит к уже известной главной площадке, перпендикулярной оси z. На этой площадке τ_zx=τ_zy=σ_z=0. Приравнивая нулю выражение в квадратных скобках получим квадратное уравнение, решение которого имеет следующий вид:

.

(3.25)

Эти два решения определяют напряжения на двух остальных главных площадках, параллельных оси z. Какому из найденных трех главных напряжений надо приписать соответствующие индексы, можно решить только после вычислений конкретных значений по формуле (3.25). Для определения положения главных площадок, параллельных оси z решаем систему (3.16) относительно n₁:

.

(3.26)

Исключая s, получим:

.

Отсюда находится тангенс двойного угла, на который нужно повернуть ось x, чтобы она совпала с направлением нормали к первой главной площадке:

.

Графический способ определения напряжений Круги Мора

Выше была выведена формула (3.12) для определения нормальных напряжений на наклонной площадке. Это напряжение может быть получено наглядным графическим способом путем построения круговой диаграммы напряженного состояния (круги Мора, 1882 г.) для случая плоского напряженного состояния. Пусть дан элемент (рисунок 3.8), по боковым граням которого действуют известные главные напряжения s₁ и s₂. Требуется графически определить напряжения σ_α (σ₁₁), σ_β (σ₂₂), τ_α (σ₁₂), τ_β (σ₂₁), действующие на наклонным площадкам α и β.

Для этого нужно выполнить следующие действия:

1. выбрать прямоугольную систему координат (σ, τ) так, чтобы ось абсцисс была параллельна большему из главных напряжений;

2. на оси абсцисс от начала координат отложить отрезки, численно равные главным напряжениям s₁ и s₂, и на их разности, как на диаметре построить окружность;

3. из крайней левой точки A окружности провести луч, параллельный нормали n_α к площадке α (рисунок 3.8).

Нетрудно показать, что координаты точки M_α пересечения этого луча с окружностью численно равны σ_α, τ_α, а координаты диаметрально противоположной точки M_β численно равны σ_β, τ_β. Действительно:

Аналогично

.

Далее:

Указанный графический способ применим и для линейного напряженного состояния.

Рисунок 3.8. Графический способ определения напряжений на наклонных площадках

Графическое определение главных напряжений и положения главных площадок

Формулы (3.25), (3.27) для определения главных напряжений и главных площадок в случае плоского напряженного состояния имеют наглядную графическую интерпретацию. Для графического определения главных напряжений в элементе (рисунок 3.9) необходимо выполнить следующие действия:

1. выбрать прямоугольную систему координат (σ, τ) так, чтобы ось была параллельна большему из напряжений, например;

2. на оси абсцисс отложить отрезки, численно равные σ_α и σ_β;

3. в концах этих отрезков, учитывая знаки, восстановить перпендикуляры, соответственно равные τ_α и τ_β;

4. соединить концы этих перпендикуляров и на полученном отрезке, как на диаметре, построить окружность (рисунок 3.9);

5. отрезки OA и OB, отсекаемые этой окружностью на оси абсцисс будут численно равны искомым главным напряжениям;

6. s₁ будет направлено по линии AM^/_α, а s₂ будет направлено по линии AM^/_β.

По найденным направлениям главных напряжений, строятся главные площадки и главные напряжения. Из построения (рисунок 3.9) очевидно следующее:

где

Следовательно,

Если по этим формулам получится, что α_o>0,то отсчет этого угла будет против хода часовой стрелки, а при α_o<0 - по ходу часовой стрелки.

Рисунок 3.9. Графическое определение главных напряжений