Определение деформаций и перемещений

Опыты показывают, что при растяжении длина стержня увеличивается, а поперечные размеры уменьшаются, при сжатии наоборот (Рисунок 4.2 б).

Для многих материалов при нагружении до определенных пределов опыты показывают следующую зависимость между относительным удлинением стержня ε и напряжением σ:

,

(4.4)

где ε = Δl/l - относительное удлинение стержня; Δl = (l₁-l) - абсолютное удлинение стержня; l - длина образца до деформации; l₁ - то же, после деформации.

Эта зависимость, как отмечалось выше, носит название закона Гука и формулируется следующим образом: линейные деформации прямо пропорциональны нормальным напряжениям.

В формуле (4.4) Е - коэффициент, зависящий от материала и называемый модулем продольной упругости или модулем упругости первого рода, а также модулем Юнга. Он характеризует жесткость материала, т. е. его способность сопротивляться деформированию. Поскольку ε - безразмерная величина, то из формулы (4.4) видно, что единица Е та же, что и σ, т. е. Паскаль (Па). В Таблица 4.1 даны средние значения E для некоторых материалов.

Таблица4.1. Значения модуля продольной упругости для разных материалов

Материал	E, МПа
Сталь	2·105– 2.2·105
Медь	1·105
Дерево	1·104
Алюминий	0.675·105
Чугун	0.75·105 – 1.6·105
Стеклопластики	0.18·105 – 0.4·105

Для других материалов значение Е можно найти в справочниках. Имея в виду, что для стержня постоянного сечения ε = Δl/l, а σ = N/F, из формулы (4.4) можно получить формулу для определения полного (абсолютного) удлинения (укорочения) стержня

.

(4.5)

Между продольной ε и поперечной ε^/ деформациями существует установленная экспериментально зависимость

.

(4.6)

Здесь μ - коэффициент поперечной деформации (коэффициент Пуассона), характеризующий способность материала к поперечным деформациям. При пользовании приведенной формулой удлинение считается положительным, укорочение - отрицательным. Значение μ для всех материалов колеблется в пределах 0<μ<0.5, а для большинства материалов - от 0.25 до 0.35 (Таблица 4.2).

Для стали при упругих деформациях можно принимать μ ≈ 0.3. Зная ε^/, можно определить полное поперечное сужение или расширение стержня Δb:

,

где b первоначальный поперечный размер стержня; b₁ - поперечный размер стержня после деформации.

Таблица 4.2 Значения коэффициента Пуассона для разных материалов

Материал	μ
Сталь	0.25-0.33
Медь	0.31-0.34
Бронза	0.32-0.35
Чугун	0.23-0.27
Стекло	0.25
Бетон	0.08-0.18
Пробка	0.00
Целлулоид	0.39
Свинец	0.45
Латунь	0.32-0.42
Алюминий	0.32-0.36
Цинк	0.21
Камень	0.16-0.34
Каучук	0.47
Фанера	0.07