Статически неопределимые задачи при кручении

При кручении, как и при растяжении, могут встретиться статически неопределимые задачи, для решения которых к уравнениям равновесия статики должны быть добавлены уравнения совместности перемещений.

Нетрудно показать, что метод решения указанных задач при кручении и при растяжении один и тот же. Рассмотрим для примера брус, заделанный обоими концами в абсолютно жесткие стены (рисунок 7.21). Отбросим заделки, заменив их действие неизвестными моментом M₁ и M₂. Уравнение совместности деформаций получим из условия равенства нулю угла закручивания в правой заделке:

,

где I_p1=πd₁⁴/32, I_p2=πd₂⁴/32.

Крутящие моменты в сечениях бруса связаны следующим уравнением:

.

Решая совместно указанные уравнения относительно неизвестных моментов, получим:

.

Угол закручивания сечения C определяется из уравнения

.

Эпюры крутящих моментов и углов закручивания представлены на рисунок 7.21.

Рисунок 7.21

7. Плоский прямой поперечный изгиб Основные понятия и определения

При растяжении-сжатии, кручении прямых брусьев их оси, прямые до деформации, остаются прямыми и после деформации. В отличие от этих видов деформации, изгиб представляет собой такую деформацию, при которой происходит искривление оси прямого бруса или изменение кривизны оси кривого бруса. Напомним, что осью бруса называется геометрическое место точек центров тяжестей поперечных сечений бруса, то есть сечений, нормальных к оси бруса. Изгиб связан с возникновением в поперечных сечениях бруса изгибающих моментов. Если из шести внутренних силовых факторов в сечении бруса отличным от нуля является только один изгибающий момент, изгиб называется чистым:

Если в поперечных сечениях бруса кроме изгибающего момента действует также поперечная сила - изгиб называется поперечным:

Брус, работающий на изгиб, называется балкой. Изгиб называется плоским, если ось балки после деформации остается плоской линией. Плоскость расположения изогнутой оси балки называется плоскостью изгиба. Плоскость действия нагрузочных сил называется силовой плоскостью. Если силовая плоскость совпадает с одной из главных плоскостей инерции поперечного сечения, изгиб называется прямым. (В противном случае имеет место косой изгиб). Главная плоскость инерции поперечного сечения - это плоскость, образованная одной из главных осей поперечного сечения с продольной осью бруса. При плоском прямом изгибе плоскость изгиба и силовая плоскость совпадают.

В настоящем разделе рассматривается плоский прямой изгиб призматических балок, имеющих, по крайней мере, одну плоскость (ось) симметрии, совпадающую с силовой плоскостью (рисунок 8.1).

Рисунок 8.1.

Типы опорных устройств балок и виды внешних нагрузок были рассмотрены нами ранее.

Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов. Дифференциальные зависимости между изгибающими моментами, поперечными силами и интенсивностью распределенных нагрузок. Дифференциальные зависимости Д.И. Журавского

Расчет прочности балок производится применительно к наиболее нагруженному, то есть опасному сечению. Выявление опасных сечений производится при помощи эпюр, то есть графиков, изображающих закон изменения Q и M по всей длине балки. Для построения эпюр необходимо выполнить следующие действия:

1. определить опорные реакции;

2. найти аналитические выражения Q и M на каждом участке балки и определить их величины в наиболее характерных точках (начало и конец участка, экстремальные точки);

3. параллельно оси балки провести оси отсчетов и в соответствующих местах восстановить к ним перпендикуляры, численно равные найденным характерным значениям Q и M. Построить эпюры Q и M, соединяя концы этих перпендикуляров в соответствии с законом изменения Q и M на данном участке.

Правила знаков для Q и M в поперечных сечениях балки определяются рисунок 8.2. При этом положительные значения изгибающих моментов оказываются с той стороны от оси отсчетов, в которую обращается вогнутая сторона балки (то есть эпюра изгибающих моментов строится на сжатых волокнах).

Рисунок 8.2. Правило знаков для Q и M

Пусть на балку (рисунок 8.3) действует произвольная статически уравновешенная система сил. Двумя поперечными сечениями выделим элементарную часть балки, заменив действие отброшенных частей внутренними силами. Кроме этих внутренних сил на выделенный элемент действует часть распределенной нагрузки интенсивности q_x, которую можно принять постоянной на бесконечно малой длине dx. Составим условия равновесия элемента:

.

Отсюда, пренебрегая бесконечно малыми слагаемыми второго порядка малости, получим:

,	(8.1)
,	(8.2)
.	(8.3)

Указанные дифференциальные зависимости называются дифференциальными зависимостями Д.И. Журавского.

Рисунок 8.3.

На рисунок 8.4. показан пример построения эпюр поперечных сил и изгибающих моментов.

Рисунок 8.4.