Теория наибольшей удельной потенциальной энергии формоизменения (IV теория прочности)

В основу энергетической теории прочности (Бельтрами, 1885 г, Хубер, 1904 г) положена гипотеза о преимущественном влиянии удельной потенциальной энергии изменения формы.

Согласно данной теории прочности опасное состояние материала при сложном напряженном состоянии наступает тогда, когда удельная потенциальная энергия изменения формы достигает величины, соответствующей пределу текучести при простом растяжении.

При объемном напряженном состоянии удельная потенциальная энергия изменения формы (3.49), выраженная через главные напряжения, определяется следующим уравнением:

.

(9.7)

При простом растяжении (s₂=s₃=0)

.

(9.8)

Предельное значение удельной потенциальной энергии изменения формы при растяжении

.

(9.9)

На основании сформулированной гипотезы, имеем

или с учетом (9.7) - (9.9)

.

(9.10)

Сравнивая с условием наступления предельного состояния (9.2), получим эквивалентное напряжение по IV теории прочности:

.

(9.11)

Условие прочности в соответствии с (9.1) имеет следующий вид:

.

(9.12)

Последнее условие прочности хорошо согласуется с результатами испытания изотропных материалов, поэтому оно широко применяется при расчете деталей из металлических материалов.

Теория прочности Мора (V теория прочности)

Теория прочности Мора позволяет учесть различие в свойствах материалов при растяжении и сжатии. Ее можно получить путем модификации теории наибольших касательных напряжений в соответствии с уравнением:

.

(9.13)

При одноосном сжатии в предельном случае s₁=0, s₃= – σ_т^с

(9.14)

откуда определяется коэффициент k

(9.15)

для пластичных материалов, или

(9.16)

для хрупких материалов.

Условие прочности по теории Мора имеет следующий вид:

.

(9.17)

Замечания о выборе теории прочности

Обзор многочисленных теорий предельных состояний показывает, что совершенных теорий еще нет. Каждая из существующих теорий справедлива только в определенных условиях и для определенных материалов. Рассмотренными выше теориями можно пользоваться только при напряженных состояниях с главными напряжениями разных знаков. Возможность применения этих теорий в случаях трехосного растяжения или сжатия требует дополнительной экспериментальной проверки.

При выборе теории прочности в случае плоского напряженного состояния и объемного напряженного состояния с главными напряжениями разных знаков надо учитывать свойства материала. Если материал пластичен и одинаково работает на растяжение и сжатие, то следует пользоваться теорией наибольшей энергии формоизменения или теорией максимальных касательных напряжений. Если пластичный материал неодинаково сопротивляется растяжению и сжатию, то следует применить теорию Мора. Расчет хрупких материалов при указанных напряженных состояниях следует производить по теории Мора.

Пример 9.1

Определить допускаемое касательное напряжение при чистом сдвиге, используя III и IV теории прочности.

Как известно при чистом сдвиге s₁=τ, s₃= –τ, s₂=0.

Эквивалентное напряжение по теории максимальных касательных напряжений при чистом сдвиге имеет следующий вид:

откуда получаем

.

(9.28)

Эквивалентное напряжение по теории удельной потенциальной энергии формоизменения при чистом сдвиге имеет следующий вид:

откуда получаем

.

(9.29)

Оба результата неплохо согласуются с опытными данными

.