Вертикальный удар

Предположим, что груз весом Q падает с некоторой высоты h на упругую систему, масса которой мала по сравнению с массой груза. Такой системой может быть стержень, балка, ферма и т. д. Упругую систему будем считать невесомой (рисунок 15.2).

Рисунок 15.2. Вертикальный удар

Рассмотрим баланс энергии в момент наибольшей деформации системы при ударе.

Груз в процессе падения производит работу:

,

(15.4)

где δ_д - динамический прогиб системы (перемещение точки удара) в момент наибольшей деформации.

Из рисунка 15.3. видно, что графически эта работа соответствует площади прямоугольника abde, так как величина веса груза Q в процессе удара не меняется.

Рисунок 15.3. Энергия деформации при ударе

Эта работа накапливается в системе в виде потенциальной энергии, которую определим как работу внутренней силы R, вызывающей прогиб δ при ударе. На рисунке 15.1 эта потенциальная энергия в соответствии с принятыми выше допущениями графически изображается площадью треугольника acd, так как сила R изменяется от нуля до конечного значения, равного R_д, по линейному закону. Таким образом, потенциальная энергия

.

(15.5)

Приравнивая А и U, с учетом (15.2), (15.3), имеем

,

или с учетом того, что Q=R_ст

.

(15.6)

Решая квадратное уравнение относительно k_д, получим

.

(15.7)

Положительный знак перед радикалом взят потому, что искомыми являются наибольшие деформации. Если груз после удара остается на упругой системе, то при отрицательном знаке решение дает наибольшее отклонение точки удара при возвратном движении.

После нахождения k_д, могут быть определены по уравнениям (15.2), (15.3) динамические напряжения и деформации системы, которые, очевидно, будут в k_д раз больше тех, которые имели бы место в системе при статическом приложении к ней груза Q.

Заметим, что эластичные свойства системы, как видно из формулы (15.7), смягчают удар и, наоборот, сила удара тем больше, чем больше жесткость системы.

Частный случай ударного нагружения - внезапное приложение груза, когда h=0. В этом случае k_д=2 и σ_д=2σ_ст, δ_д=2δ_ст, т. е. при внезапном приложении нагрузки напряжения и деформации системы в два раза больше, чем при статическом нагружении.

Пример 15.1

В котором из двух одинаковых стержней, отличающихся только материалом возникнут большие динамические напряжения (рисунок15.4)?

Рисунок 15.4.

,

.

Таким образом, (k_д)_Ст>(k_д)_Al и динамические напряжения больше в стальном стержне.

Пример 15.2

В котором из двух стержней, сделанных из одного материала возникнут большие динамические напряжения (рисунок 15.5)?

Рисунок 15.5.

В данном случае имеет место продольный растягивающий удар. Перемещение нижнего концевого сечения от статически приложенной силы Q будет

,

а второго стержня

.

Следовательно,

,

,

то есть напряжения в первом стержне больше, чем во втором.

Пример 15.3

Определить максимальные динамические напряжения при вертикальном ударе, а также динамический прогиб балки в точке D (рисунок 15.9).

Грузовая эпюра изгибающих моментов (M_p) от статически приложенного груза Q и эпюры изгибающих моментов от единичных сил, приложенных в точке удара (M₁) и в точке D (M₁^/), построены на рисунок 15.6.

Рисунок 15.6.

Максимальные динамические напряжения будут действовать в сечении правой опоры в месте действия максимального изгибающего момента

,

где

,

а δ_ст есть статический прогиб балки под падающим грузом, то есть прогиб в точке C. Для определения этого перемещения воспользуемся правилом Верещагина:

.

Таким образом, имеем

.

Динамический прогиб в точке D равен:

,

а статический прогиб в точке D определяем с помощью правила «дирижера»

.

Знак минус означает, что точка D перемещается вверх. Окончательно имеем

.