Пример 11.1
Определить горизонтальное перемещение опоры B (рисунок 11.1).
Изгибающий момент от силы P в текущем сечении
.
Снимем силу P и приложим в опоре B горизонтальную единичную силу. Изгибающий момент в текущем сечении от этой силы
.
Согласно равенству (11.6) и равенству ds=Rdφ, получим
Рисунок 11.1.
.
Пример 11.2
Определить угол поворота опоры B (рисунок 11.2).
Рисунок 11.2.
Изгибающий момент от внешней нагрузки в текущем сечении на участках 1, 2, 3 равен:
1 -
,
2 -
,
3 -
.
Снимем распределенную нагрузку и приложим в опоре B изгибающий единичный момент (рисунок 11.3).
Рисунок 11.3.
Изгибающий момент в текущем сечении от единичного момента на участках 1, 2, 3 равен:
1 -
,
2 -
,
3 -
.
Согласно равенству (11.6)
.
Статически неопределимые стержневые системы Статическая неопределимость
Стержневые системы, опорные реакции и внутренние силовые факторы в которых не могут быть найдены из одних лишь уравнений равновесия, называются статически неопределимыми.
Разность между числом искомых неизвестных усилий и независимых уравнений равновесия определяет степень статической неопределимости системы. Степень статической неопределимости всегда равна числу избыточных (лишних) связей, удаление которых превращает статически неопределимую систему в статически определимую геометрически неизменяемую систему. Избыточными могут быть как внешние (опорные) связи, так и внутренние, накладывающие определенные ограничения на перемещение сечений системы друг относительно друга.
Геометрически неизменяемой называется такая система, изменение формы которой возможно лишь в связи с деформациями ее элементов.
Геометрически изменяемой называется такая система, элементы которой могут перемещаться под действием внешних сил без деформации (механизм).
Изображенная на рисунок 12.1 рама имеет семь внешних (опорных) связей. Для определения усилий в этих связях (опорных реакций) можно составить всего лишь три независимых уравнения равновесия. Следовательно, данная система имеет четыре избыточных связи, а это означает, что она четыре раза статически неопределима. Таким образом, степень статической неопределимости для плоских рам равна:
|
(12.1) |
,где R - число опорных реакций.
Контур, состоящий из ряда элементов (прямых или криволинейных), жестко (без шарниров) связанных между собой и образующих замкнутую цепь, называется замкнутым. Прямоугольная рама, изображенная на рисунке 12.2, представляет собой замкнутый контур. Она трижды статически неопределима, так как для превращения ее в статически определимую необходимо перерезать один из ее элементов и устранить три лишние связи. Реакциями этих связей являются: продольная сила, поперечная сила и изгибающий момент, действующие в месте разреза; их нельзя определить при помощи уравнений статики. В аналогичных условиях в смысле статической неопределимости находится любой замкнутый контур, который всегда трижды статически неопределим.
Включение шарнира в узел рамы, в которой сходятся два стержня, или же постановка его в любое место на оси стержня снимает одну связь и снижает общую степень статической неопределимости на единицу. Такой шарнир называется одиночным или простым (рисунок 12.3).
Рисунок 12.1.
Рисунок 12.2.
Рисунок 12.3.
В общем случае каждый шарнир, включенный в узел, соединяющий c стержней, снижает степень статической неопределимости на c-1, так как такой шарнир заменяет c-1 одиночных шарниров (рисунок 12.3). Таким образом, степень статической неопределимости системы при наличии замкнутых контуров определяется по формуле:
|
(12.2) |
,где k - число замкнутых контуров в конструкции в предположении отсутствия шарнирных соединений; m - число одиночных шарниров; шарнир, соединяющий два стержня, считается за один, соединяющий три стержня – за два одиночных шарнира (двойной шарнир) и т.д.
Суммарная степень статической неопределимости системы равна:
|
(12.3) |
.