Общий случай сложного сопротивления

В качестве примера рассмотрим брус прямоугольного поперечного сечения, нагруженный внешними изгибающими моментами M₂, M₃, крутящим моментом M₁ и силой P, создающими в произвольном поперечном сечении, отстоящим на расстояние x от правого конца бруса, изгибающие моменты M_y и M_z, крутящий момент M_x и продольную силу N=P (рисунок 10.13). Поперечные силы обычно бывают велики только в коротком брусе, а поэтому в большинстве остальных случаев влиянием касательных напряжений от поперечных сил можно пренебречь. Эпюры нормальных и касательных напряжений в данном сечении (рисунок 10.14, 10.15) показывают, что в отличие от круглого сечения наибольшие нормальные напряжения и наибольшие касательные напряжения не совпадают в одной и той же точке.

Рисунок 10.13.

Рисунок 10.14.

Рисунок 10.15.

Следовательно, для выявления самой опасной точки в сечении необходимо сопоставить эквивалентные напряжения в нескольких опасных точках. Обычно достаточным является рассмотрение трех точек сечения: одной угловой точки, в которой нормальные напряжения суммируются с одним знаком (точка C), одной точки посредине длинной стороны прямоугольника (точка 4) и одной точки посредине короткой стороны прямоугольника (точка 3). Напряжения в этих точках представлены в таблице 10.1.

Таблица 10.1.

Точки				или
A	-	-	+	0
B	-	+	+	0
C	+	+	+	0
D	+	-	+	0
1	-	0	+
2	0	+	+
3	+	0	+
4	0	-	+

Условие прочности для точки C записывается как для случая линейного напряженного состояния

.

(10.27)

Элемент, выделенный в окрестности точек 3, 4 находится в условиях плоского напряженного состояния (см. таблица 10.1) и, следовательно, главные напряжения могут быть вычислены по формуле (10.21).

Для вычисления эквивалентных напряжений в точках 3, 4 подставим значения нормальных и касательных напряжений в формулы (10.22), (10.24), (10.26). Тогда получим значения эквивалентных напряжений по соответствующим теориям прочности:

(10.28)

для точки 3,

(10.29)

для точки 4.

Таким образом, наиболее опасная точка определяется только в результате вычисления эквивалентных напряжений во всех трех точках, причем в каждом случае положение наиболее опасной точки зависит от конкретного соотношения величин моментов.

Напряжения при изгибе с кручением бруса прямоугольного сечения легко определить путем исключения нормальных напряжений от растяжения или сжатия N/F из уравнений (10.27)-(10.29).

Положение опасной точки и напряжений в общем случае сложного сопротивления (то есть при наличии двух изгибающих моментов, крутящего момента и продольной силы) для бруса круглого поперечного сечения определяются, как это описано в разделе Изгиб с кручением, по формулам (10.22), (10.24), (10.26), с той лишь разницей, что в уравнение (10.19) для σ_max добавляется напряжения от растяжения или сжатия:

.

(10.30)