- •Бийский технологический институт (филиал)
- •170104.65 – Высокоэнергетические устройства
- •160302.65 - Ракетные двигатели
- •Оглавление
- •Введение
- •Принципы сопротивления материалов Принцип Сен-Венана
- •Принцип независимости действия сил
- •Принцип начальных размеров
- •Внутренние силы. Метод сечений
- •Напряжения и деформации Напряжения
- •Связь компонентов внутренних сил с напряжениями
- •Определение напряжений на наклонных площадках
- •Определение главных напряжений и главных площадок
- •Плоское напряженное состояние
- •Графический способ определения напряжений Круги Мора
- •Графическое определение главных напряжений и положения главных площадок
- •Деформации. Деформированное состояние в точке тела
- •Обобщенный закон Гука для изотропного тела
- •Удельная потенциальная энергия деформации
- •Пример 3.1
- •Растяжение-сжатие Определение внутренних усилий
- •Определение напряжений
- •Определение деформаций и перемещений
- •Определение механических свойств материала при растяжении
- •Диаграммы условных и истинных напряжений
- •Механические характеристики материалов
- •Закон разгрузки и повторного нагружения
- •Пластичные и хрупкие материалы
- •Механические свойства при сжатии
- •Влияние температуры на механические характеристики
- •Ползучесть, последействие и релаксация
- •Длительная прочность
- •Коэффициент запаса прочности. Выбор допускаемых напряжений
- •Основные типы задач при расчете на прочность растянутых (сжатых) стержней
- •Пример 4.1
- •Пример 4.2
- •Пример 4.3
- •Анализ напряженного состояния при растяжении (сжатии)
- •Потенциальная энергия деформации при растяжении
- •Концентрация напряжений
- •Статически неопределимые задачи при растяжении и сжатии
- •Пример 4.4
- •Пример 4.5
- •Пример 4.6
- •Сдвиг (срез) Определение внутренних сил, напряжений и деформаций при сдвиге
- •Анализ напряженного состояния при сдвиге
- •Потенциальная энергия деформации при чистом сдвиге
- •Расчет на прочность при сдвиге
- •Расчет заклепочного соединения
- •Пример 5.1
- •Геометрические характеристики плоских сечений
- •Определения
- •Зависимость между моментами инерции относительно параллельных осей
- •Моменты инерции простейших фигур
- •Вычисление моментов инерции сложных фигур
- •Изменение моментов инерции при повороте осей координат
- •Главные оси и главные моменты инерции
- •Моменты сопротивления площади
- •Пример 6.1
- •Кручение Внутренние силовые факторы при кручении
- •Напряжения и деформации при кручении бруса круглого поперечного сечения
- •Напряженное состояние при кручении
- •Потенциальная энергия деформации при кручении
- •Направление вектора касательного напряжения в контурных точках сечения цилиндрического бруса
- •Кручение тонкостенного бруса замкнутого профиля
- •Кручение бруса прямоугольного сечения
- •Кручение тонкостенного бруса открытого профиля
- •Пример 7.1
- •Расчеты на прочность и жесткость при кручении
- •Пример 7.2
- •Пример 7.3
- •Пример 7.4
- •Расчет цилиндрических винтовых пружин малого шага
- •Статически неопределимые задачи при кручении
- •Плоский прямой поперечный изгиб Основные понятия и определения
- •Плоский прямой изгиб
- •Нормальные напряжения при чистом прямом изгибе
- •Касательные напряжения при плоском прямом изгибе. Формула Журавского
- •Пример 8.1
- •Пример 8.2
- •Расчеты на прочность при поперечном изгибе
- •Потенциальная энергия деформации при изгибе
- •Перемещения при изгибе Дифференциальное уравнение упругой линии балки и его интегрирование
- •Пример 8.4
- •Пример 8.5
- •Пример 8.6
- •Расчет на жесткость при изгибе
- •Определение перемещений с помощью интеграла Мора
- •Пример 8.7
- •Определение перемещений с помощью способа Верещагина
- •Пример 8.9
- •Пример 8.10
- •Определение перемещений с помощью правила «дирижера»
- •Критерии предельного состояния материала при сложном напряженном состоянии. Теории прочности
- •Гипотезы (теории) прочности
- •Критерии разрушения
- •Гипотеза наибольших нормальных напряжений (I теория прочности)
- •Гипотеза наибольших линейных деформаций (II теория прочности)
- •Критерии пластичности
- •Гипотеза наибольших касательных напряжений (III теория прочности)
- •Теория наибольшей удельной потенциальной энергии формоизменения (IV теория прочности)
- •Теория прочности Мора (V теория прочности)
- •Замечания о выборе теории прочности
- •Пример 9.1
- •Пример 9.2
- •Пример 9.3
- •Пример 9.4
- •Расчет на прочность при сложном сопротивлении
- •Косой (двойной) изгиб
- •Пример 10.1
- •Внецентренное растяжение (сжатие)
- •Пример 10.2
- •Пример 10.3
- •Изгиб с кручением
- •Общий случай сложного сопротивления
- •Перемещения в пространственном брусе малой кривизны при произвольной нагрузке
- •Пример 11.1
- •Пример 11.2
- •Статически неопределимые стержневые системы Статическая неопределимость
- •Метод сил. Канонические уравнения
- •Вычисление коэффициентов канонических уравнений
- •Пример 12.1
- •Пример 12.2
- •Определение перемещений в статически неопределимых системах
- •О рациональном выборе основной системы. Использование прямой и обратной симметрии
- •Пример 12.3
- •Пример 12.4
- •Пример 12.5
- •Пример 12.6
- •Устойчивость сжатых стержней. Продольный изгиб Понятие об устойчивости первоначальной формы равновесия
- •Определение критической силы. Формула Эйлера
- •Пределы применимости формулы Эйлера
- •Устойчивость сжатых стержней за пределами упругости. Полная диаграмма критических напряжений
- •Практические способы расчета на продольный изгиб
- •Пример 13.1
- •Расчет на устойчивость с помощью коэффициента снижения основного допускаемого напряжения
- •Рациональные формы сечений сжатых стержней
- •Пример 13.2
- •Расчет элементов конструкций, движущихся с ускорением Внутренние силы, вызванные движением. Силы инерции
- •Расчет поступательно движущихся систем
- •Напряжения в тонкостенном вращающемся кольце
- •Расчет равномерно вращающегося прямого бруса
- •Вращающиеся рамы
- •Расчет на прочность при ударном действии нагрузок Удар. Основные понятия
- •Вертикальный удар
- •Пример 15.1
- •Пример 15.2
- •Пример 15.3
- •Вертикальный удар вследствие внезапной остановки движения
- •Горизонтальный удар
- •Скручивающий удар
Пример 8.4
Для консольной балки с сосредоточенной парой Mo на свободном конце найти аналитические выражения для прогибов и углов поворота (рисунок8.24).
Рисунок 8.24.
По уравнениям (8.29) - (8.31) имеем
.
В заделке прогиб y(0) и угол поворота сечения θ(0) равны нулю. Эти граничные условия будут удовлетворены, если C1=0 и C2=0. Следовательно, балка изогнется по дуге параболы:
.
На этом примере наглядно проявляется приближенный характер уравнения (8.29), так как при постоянном изгибающем моменте согласно равенству
балка должна изгибаться по дуге окружности радиуса ρ. Однако в пределах длины балки указанные дуги окружности и параболы практически совпадают.
Пример 8.5
Для консольной балки с сосредоточенной силой P на свободном конце найти аналитические выражения для прогибов и углов поворота (рисунок8.25).
Рисунок 8.25.
Реактивная сила и момент в заделке равны R=P, MR=Pl. В произвольном сечении на расстоянии x от заделки имеем
.
В заделке прогиб y(0) и угол поворота сечения θ(0) равны нулю. Эти граничные условия будут удовлетворены, если C1=0 и C2=0. Окончательно, имеем
.
Максимальные прогиб и угол поворота будут на правом свободном конце балки:
. |
(8.32). |
Знак минус в формулах для прогиба и угла поворота означает, что прогиб конца консольной балки направлен вниз, а поворот концевого сечения – по часовой стрелке.
Пример 8.6
Для балки нагруженной распределенной нагрузкой найти аналитические выражения для прогибов и углов поворота (рисунок 8.26).
Рисунок 8.26.
Изгибающий момент в произвольном поперечном сечении
.
В произвольном сечении на расстоянии x от опоры A имеем
. |
(8.33) |
Из условия для прогиба на левой опоре
.
Из условия для прогиба на правой опоре
.
Подставив значения C1 и C2 в уравнение (8.33), получим
. |
(8.34) |
На рисунок 8.26 построены эпюры прогибов и углов поворота, из которых видно, что максимальный прогиб будет в середине балки
.
Максимальные углы поворота будут в опорных сечениях:
.
Расчет на жесткость при изгибе
В практических расчетах нередки случаи, когда в балке, сечение которой выбрано из условия прочности, перемещения оказываются большими – превышающими установленные для них нормы. Поэтому, кроме расчета на прочность, балки должны проверяться также и на жесткость. Обозначив допускаемую стрелу прогиба через [f], получим условие жесткости балки
. |
(8.35) |
Допускаемые значения стрелы прогиба зависят от назначения конструкции и колеблются в достаточно широких пределах. Так, например, в строительных конструкциях допускаемые значения относительных прогибов [f / l] колеблются от 1/150 до 1/400. При расчете валов допускаемый относительный прогиб обычно ограничивается 1/1000.
Определение перемещений с помощью интеграла Мора
Кроме способов определения перемещений сечений балок, основанных на интегрировании дифференциального уравнения упругой линии, существуют более удобные для практических целей энергетические методы. Одним из них является способ определения прогибов и углов поворотов сечений при упругих деформациях балок с помощью интеграла Мора. Этот интеграл может быть получен различными путями, и, в частности, исходя из условия равенства работы внешних сил А и потенциальной энергии U, накопленной в деформированной балке.
Определим, например, прогиб в точке С оси балки, нагруженной некоторой системой внешних поперечных сил и пар. Для упрощения промежуточных выкладок представим всю эту нагрузку одной сосредоточенной силой Р (рисунок 8.27). Обозначим через δPP прогиб балки в точке приложения силы Р, а через δCP - искомый прогиб от этой силы в точке С.
При статическом приложении к балке сила Р произведет работу
.
Потенциальная энергия деформации для первого состояния балки, если пренебречь влиянием перерезывающих сил Q на прогибы, может быть подсчитана по формуле (8.22), т. е.
. |
(8.36) |
Составляя баланс энергий A=U, получаем
. |
(8.37) |
Поступим далее следующим образом. Снимем с балки всю заданную нагрузку и приложим статически в сечении С в направлении искомого прогиба вспомогательную силу, равную по величине единице измерения силы, например, 1Н. От этой единичной нагрузки в сечениях балки возникнут изгибающие моменты Mz1, а точка C в процессе деформации балки пройдет путь δC1 (см. рисунок 8.27). Баланс энергий во втором состоянии балки запишется так
. |
(8.38) |
Рисунок 8.27
Рассмотрим третье состояние, когда к балке, уже нагруженной вспомогательной единичной силой, прикладывается еще и заданная нагрузка Р (см. рисунок 8.27). Эта нагрузка вызовет дополнительные деформации балки, причем согласно принципу независимости действия сил дополнительные прогибы будут такими же, как и в первом из рассмотренных состояний балки, когда она нагружена только силой Р. Поэтому работа внешних сил, если подсчитывать ее в последовательности их приложения,
. |
(8.39) |
У последнего слагаемого множитель 1/2 отсутствует потому, что к моменту приложения заданной нагрузки единичная сила достигла уже своего конечного значения и в процессе перемещения δCP величины своей не изменяет (рисунок 8.28).
Изгибающие моменты в сечениях балки в ее третьем состоянии равны суммам изгибающих моментов Mz от заданных нагрузок и Mz1 от единичной силы, а потенциальная энергия деформации
. |
(8.40) |
Рисунок 8.28.
Баланс энергий в третьем состоянии
|
(8.41) |
Учитывая выражения для балансов энергий в первом и втором состояниях, получаем
. |
(8.42) |
Чтобы левая часть равенства представляла собой непосредственно искомый прогиб балки, нужно разделить обе части этого равенства на вспомогательную единичную силу или считать ее безразмерной. В обоих случаях получаем для определения прогибов балки выражение
, |
(8.43) |
где Mz1 имеет размерность длины.
Задача определения угла поворота сечения С приводит к тому же выражению (8.43). Отличие заключается в том, что в этом случае в сечении С надо прикладывать в направлении искомого углового перемещения единичный момент, а под δCP понимать угол поворота сечения в радианах.
В выражении (8.43) интеграл должен быть распространен на всю длину балки. Если балка имеет п участков с различными аналитическими выражениями для изгибающих моментов Mz(x) и Mz1(x), то в правой части будет стоять сумма интегралов по всем п участкам.
Итак, прогибы и углы поворотов сечений балок могут быть найдены из равенства, называемого интегралом Мора:
, |
(8.44) |
где Mz(x) - изгибающий момент в текущем сечении балки от заданной нагрузки; Mz1(x) - изгибающий момент в том же сечении от единичной силы, если ищется прогиб, и единичного момента, если ищется угол поворота сечения.
Для определения Mz1(x) надо снять с балки заданную нагрузку (но не удалять опоры) и приложить в том сечении, перемещение которого ищется, в направлении этого перемещения единичную силу или пару. Моменты Mz(x) и Mz1(x) надо подставлять в интеграл Мора с их знаками. Положительный знак в окончательном выражении означает, что сечение перемещается по направлению приложенной единичной нагрузки, а отрицательный знак показывает, что перемещение происходит в противоположном направлении.