Основные типы задач при расчете на прочность растянутых (сжатых) стержней

Определив напряжение в опасном сечении растянутого (сжатого) стержня по формуле 4.3 и установив допускаемое напряжение в соответствии с соображениями, изложенными выше, можно произвести оценку прочности стержня.

Для этого необходимо фактические напряжения в опасном сечении стержня сопоставить с допускаемыми:

.

(4.11)

Здесь имеется в виду допускаемое напряжение или на растяжение, или на сжатие в зависимости от того, с каким случаем мы имеем дело - с растяжением или сжатием.

Неравенство (4.11) называется условием прочности при растяжении (сжатии). Пользуясь этим условием, можно решать следующие задачи:

1. Проверять прочность стержня, т. е. определять по заданным нагрузке и размерам поперечного сечения стержня фактические напряжения и сравнивать их с допускаемыми. Фактические напряжения не должны отклоняться от допускаемых более чем на ±5%. Перенапряжение больше этого значения недопустимо с точки зрения прочности, а недонапряжение свидетельствует о перерасходе материала.

2. Определять размеры поперечного сечения стержня (по известным нагрузке и допускаемому напряжению), требуемые по условию его прочности:

.

(4.12)

3. Определять допускаемую продольную силу по заданным размерам поперечного сечения стержня и известному допускаемому напряжению:

.

(4.13)

Определив допускаемую продольную силу и установив связь между продольной силой и нагрузкой (методом сечений), можно определить и допускаемую нагрузку.

Следует иметь в виду, что сжатые стержни кроме расчета на прочность в наиболее ослабленном сечении должны также рассчитываться на устойчивость, так как при определенном значении сжимающей силы может произойти выпучивание (продольный изгиб) сжатого стержня.

Пример 4.1

Определить допускаемую нагрузку растягиваемого стального листа, ослабленного отверстиями d = 20 мм (4.17). Допускаемое напряжение [σ] = 160 МПа, толщина листа t = 10 мм, ширина b = 200 мм.

Рисунок 4.17

Решение. Допускаемую нагрузку определяем из расчета на прочность по сечению, ослабленному отверстиями, так как здесь прежде всего может произойти разрушение. Полная площадь сечения листа F = 20 см².

Ослабление двумя отверстиями ΔF = 4 см². Рабочая площадь сечения F_раб = F - ΔF =16 см² = 16·10^-4 м².

Допускаемая нагрузка [P] = F_раб·[σ]=1.6·10^-4·160·10⁶ = 256 кН.

Пример 4.2

Определить диаметры круглых поперечных сечений стержней кронштейна (4.18), если [σ]=160 МПа.

Рисунок 4.18

Усилия в стержнях определяются методом сечений путем вырезания узла A. Из уравнений проекций всех сил на оси y, x, получим:

;

.

Диаметры стержней определяются из условий прочности:

Пример 4.3

Вертикально расположенный призматический стержень (4.19) нагружен силой тяжести и сосредоточенной силой P, приложенной на свободном конце. Построить эпюры нормальных сил, напряжений и перемещений.

Нормальная сила в сечении на расстоянии x от свободного конца равна сумме силы P и силы тяжести его нижней части:

,

где ρ - плотность материала стержня, g - ускорение свободного падения. Нормальная сила и нормальное напряжение σ(x)=N(x)/F+ρgx изменяются по линейному закону (Рисунок 4.19). Перемещение текущего сечения равно удлинению верхней части бруса и может быть определено по закону Гука:

.

.

Рисунок 4.19