Пример 8.2
Построить эпюру распределения касательных напряжений для балки двутаврового (№ 12) сечения (рисунок 8.15), если Q=10 кН.
Рисунок 8.15.
Для построения эпюры схематизируем действительное сечение, представив его в виде трех прямоугольников, как показано на рисунок 8.15 пунктиром. Проведя произвольную линию mn, параллельную нулевой линии, и перемещая ее вдоль оси y, обнаруживаем, что при этом напряжения в точках этой линии меняются по параболическому закону, так как мы имеем дело с прямоугольниками. Для построения эпюры касательных напряжений вычислим τ в крайних волокнах (линия AB), в месте сопряжения полки со стенкой (точки 1 и 2, причем будем считать, что они расположены бесконечно близко к границам полки, но лежат по разные стороны от этой границы) и в точках нейтральной линии.
На рисунок 8.15 все размеры даны в мм, а напряжения – в МПа.
Для точек линии AB ширина сечения равна l, а статический момент равен нулю, так как линия AB не отсекает никакой площади. Таким в точках линии AB касательные напряжения равны нулю.
Для точки 1 статический момент равен
Момент инерции сечения относительно нейтральной оси находим по сортаменту Iz=403 см4. Касательное напряжение в точке 1 по формуле (8.15)
Для точки 2 статический момент (с точностью до бесконечно малых величин) остается таким же, но ширина сечения d=0.5 см. Поэтому касательное напряжение в точке 2
Для точек
Следовательно, при переходе от точки 1 к точке 2 касательное напряжение возрастает в 15 раз и на эпюре получается скачок.
Для точек нейтральной линии ширина сечения d=0.5 см, а статический момент следует взять для половины сечения из сортамента Szmax=38.5 см3. Поэтому
На основании этих данных строим эпюру касательных напряжений для нижней половины сечения. Для верхней половины сечения в силу симметрии профиля относительно оси z эпюра будет симметричной.
Построенная эпюра условна, так как она дает верные значения касательных напряжений только для точек стенки, достаточно удаленных от полок. Вблизи полок касательные напряжения в стенке возрастают, ввиду того, что место сопряжения полки со стенкой является источником концентрации касательных напряжений. В полках же, где отношение высоты к ширине много меньше единицы, возникают касательные напряжения, перпендикулярные направлению Q, и величина их меняется по ширине сечения.
Необходимо отметить также, что формулой Журавского можно пользоваться только в случае прямого изгиба, так как в противном случае уравнение (8.9) несправедливо.
При изгибе тонкостенных профилей касательные напряжения определяются по следующей формуле:
|
(8.19а) |
,где δ - толщина тонкостенного профиля.
На рисунок 8.16 построена эпюра τ при изгибе тонкостенного двутавра в вертикальной плоскости симметрии. Вследствие симметрии сечения и нагрузки, касательные напряжения в симметричных точках полок двутавра должны быть также симметричны относительно оси y и согласно уравнению (8.19а) будут увеличиваться от края к центру по линейному закону:
.
Вдоль стенки τ изменяются по параболическому закону
и направлены в туже сторону, что и сила Q.
Рисунок 8.16.
Рисунок 8.17.
При изгибе двутавра в плоскости второй оси (рисунок 8.17) касательные напряжения в стенке равны нулю, а вдоль каждой из полок изменяются по параболическому закону
.