Расчеты на прочность при поперечном изгибе

При поперечном изгибе наибольшие нормальные напряжения возникают в наиболее удаленных от нейтральной оси точках сечения, а на самой этой оси нормальные напряжения равны нулю, тогда как зона действия наибольших касательных напряжений расположена, наоборот, вблизи нейтральной оси. Кроме того, величина τ_max мала по сравнению с σ_max, если длина балки существенно больше высоты сечения. Все это позволяет не принимать во внимание касательные напряжения и проводить расчет на прочность только по нормальным напряжениям (для тонкостенных балок это не всегда справедливо).

Условие прочности балки требует, чтобы максимальные нормальные напряжения не превышали допускаемых напряжений для материала балки:

,

(8.20)

где [σ]=σ_т/n или [σ]=σ_в/n.

Если материал одинаково работает на растяжение и сжатие, то опасной будет та точка сечения, где действует наибольшее по абсолютной величине напряжение независимо от его знака. Для хрупких материалов, имеющих существенно различные пределы прочности при растяжении σ_в^р и сжатии σ_в^сж, требуется проверка прочности по наибольшим растягивающим и сжимающим напряжениям:

,

,

где [σ]^р=σ_в^р/n или [σ]^сж=σ_в^сж/n.

Для балок из пластичных материалов, одинаково работающих на растяжение и сжатие, целесообразно выбирать сечения, симметричные относительно их нейтральных осей; при этом условии обеспечивается одинаковый запас прочности сечения по растянутым и сжатым волокнам.

Если кроме условия прочности исходить еще и из требования минимальной массы балки, то наиболее рациональным будет сечение, которое при заданном моменте сопротивления W_z имеет наименьшую площадь сечения F, а при заданной площади – наибольший момент сопротивления. Поэтому двутавровое сечение имеет существенное преимущество перед прямоугольным сечением.

Для материалов хрупких, обладающих различной прочностью при растяжении и сжатии, рациональным будет сечение, несимметричное относительно нейтральной оси, например тавровое, несимметричное двутавровое и т.п.

Для балки из пластичного материала, передающей в опасном сечении изгибающий момент M_max=32 кНм, подобрать двутавровое и прямоугольное сечение (h/b=2), если [σ]=160 МПа. Сравнить массы подобранных балок.

Момент сопротивления определяется из условия прочности (8.20):

Ближайший стандартный двутавровый профиль подбираем по сортаменту:

Для прямоугольного сечения имеем:

Отношение масс подобранных профилей равно отношению площадей поперечных сечений и составляет 3,1, то есть балка прямоугольного сечения более чем в три раза тяжелее балки двутаврового сечения при условии равной их прочности.

Потенциальная энергия деформации при изгибе

Потенциальная энергия деформации при поперечном изгибе определяется путем интегрирования общего уравнения для удельной потенциальной энергии (3.44):

.

С учетом уравнений (8.9) и (8.15), имеем:

.

Интеграл по площади в первом слагаемом есть осевой момент инерции , а во втором слагаемом деление на площадь F введено для удобства записи расчетной формулы. Окончательно имеем:

,

(8.21)

где безразмерный коэффициент

учитывает неравномерность распределения τ по сечению. Этот коэффициент зависит только от формы сечения. Например, для прямоугольника

.

Расчеты показывают, что для обычных балок (l>>h) второе слагаемое уравнения (8.21) во много раз меньше первого. Поэтому энергией сдвига, как правило, пренебрегают и потенциальную энергию при изгибе балок вычисляют по формуле

,

(8.22)

где n - число участков балки.

Анализ напряженного состояния при поперечном изгибе

В произвольном месте по длине балки, на уровне y от нейтрального слоя балки, выделим бесконечно малый элемент (рисунок 8.18).

Рисунок 8.18.

При плоском прямом изгибе по вертикальным граням будут действовать нормальные (8.9) и касательные (8.15) напряжения. По горизонтальным граням будут действовать только касательные напряжения, так как согласно исходному предположению, продольные волокна не оказывают давления друг на друга. Фасадные грани от напряжений свободны. Следовательно, здесь имеет место плоское напряженное состояние.

Главные напряжения и главные площадки в элементе могут быть найдены с помощью круга Мора или по уравнениям (3.25), (3.27), подставляя в них вместо σ₁₁=σ_x значение σ₁₁=σ_α (8.9), σ₂₂=σ_y=0, а вместо σ₁₂=τ_xy - значение τ=τ_α (8.15)

,	(8.23)
.	(8.24)

Круг Мора для элемента, изображенного на рисунок 8.19 построен на рисунок 8.20.

Рисунок 8.19.

Рисунок 8.20.

Перемещая элемент от крайнего верхнего до крайнего нижнего волокна балки, будем получать различные виды напряженного состояния и различные по величине и направлению главные напряжения (рисунок 8.21).

Рисунок 8.21.

В крайнем верхнем положении

, , .

(8.25)

Следовательно, здесь имеет место линейное напряженное состояние (линейное растяжение); при этом вертикальные площадки являются главными площадками. Главное напряжение s₁ действует параллельно нейтральному слою. Напряжения по наклонным площадкам определяются так же как в случае растяжения (см. 4.15) с той лишь разницей, что главные напряжения определяются уравнением (8.25).

У нейтрального слоя: σ=0, тогда из (8.23), (8.24)

.

Следовательно, здесь имеет место чистый сдвиг: s₁ и s₃ действуют под углом 45° к нейтральному слою. Главные напряжения определяются так же, как и для чистого сдвига с той лишь разницей, что касательные напряжения определяются по уравнению (8.15).

В крайнем нижнем положении

, , .

Следовательно, здесь имеет место линейное напряженное состояние (линейное сжатие); при этом вертикальные площадки являются главными площадками. Главное напряжение s₃ действует параллельно нейтральному слою.

В промежуточных точках сечения, расположенных ниже нейтральной оси имеет место плоское напряженное состояние, аналогичное напряженному состоянию, изображенному на рисунок 8.18 с той лишь разницей, что напряжения σ являются сжимающими.