- •Бийский технологический институт (филиал)
- •170104.65 – Высокоэнергетические устройства
- •160302.65 - Ракетные двигатели
- •Оглавление
- •Введение
- •Принципы сопротивления материалов Принцип Сен-Венана
- •Принцип независимости действия сил
- •Принцип начальных размеров
- •Внутренние силы. Метод сечений
- •Напряжения и деформации Напряжения
- •Связь компонентов внутренних сил с напряжениями
- •Определение напряжений на наклонных площадках
- •Определение главных напряжений и главных площадок
- •Плоское напряженное состояние
- •Графический способ определения напряжений Круги Мора
- •Графическое определение главных напряжений и положения главных площадок
- •Деформации. Деформированное состояние в точке тела
- •Обобщенный закон Гука для изотропного тела
- •Удельная потенциальная энергия деформации
- •Пример 3.1
- •Растяжение-сжатие Определение внутренних усилий
- •Определение напряжений
- •Определение деформаций и перемещений
- •Определение механических свойств материала при растяжении
- •Диаграммы условных и истинных напряжений
- •Механические характеристики материалов
- •Закон разгрузки и повторного нагружения
- •Пластичные и хрупкие материалы
- •Механические свойства при сжатии
- •Влияние температуры на механические характеристики
- •Ползучесть, последействие и релаксация
- •Длительная прочность
- •Коэффициент запаса прочности. Выбор допускаемых напряжений
- •Основные типы задач при расчете на прочность растянутых (сжатых) стержней
- •Пример 4.1
- •Пример 4.2
- •Пример 4.3
- •Анализ напряженного состояния при растяжении (сжатии)
- •Потенциальная энергия деформации при растяжении
- •Концентрация напряжений
- •Статически неопределимые задачи при растяжении и сжатии
- •Пример 4.4
- •Пример 4.5
- •Пример 4.6
- •Сдвиг (срез) Определение внутренних сил, напряжений и деформаций при сдвиге
- •Анализ напряженного состояния при сдвиге
- •Потенциальная энергия деформации при чистом сдвиге
- •Расчет на прочность при сдвиге
- •Расчет заклепочного соединения
- •Пример 5.1
- •Геометрические характеристики плоских сечений
- •Определения
- •Зависимость между моментами инерции относительно параллельных осей
- •Моменты инерции простейших фигур
- •Вычисление моментов инерции сложных фигур
- •Изменение моментов инерции при повороте осей координат
- •Главные оси и главные моменты инерции
- •Моменты сопротивления площади
- •Пример 6.1
- •Кручение Внутренние силовые факторы при кручении
- •Напряжения и деформации при кручении бруса круглого поперечного сечения
- •Напряженное состояние при кручении
- •Потенциальная энергия деформации при кручении
- •Направление вектора касательного напряжения в контурных точках сечения цилиндрического бруса
- •Кручение тонкостенного бруса замкнутого профиля
- •Кручение бруса прямоугольного сечения
- •Кручение тонкостенного бруса открытого профиля
- •Пример 7.1
- •Расчеты на прочность и жесткость при кручении
- •Пример 7.2
- •Пример 7.3
- •Пример 7.4
- •Расчет цилиндрических винтовых пружин малого шага
- •Статически неопределимые задачи при кручении
- •Плоский прямой поперечный изгиб Основные понятия и определения
- •Плоский прямой изгиб
- •Нормальные напряжения при чистом прямом изгибе
- •Касательные напряжения при плоском прямом изгибе. Формула Журавского
- •Пример 8.1
- •Пример 8.2
- •Расчеты на прочность при поперечном изгибе
- •Потенциальная энергия деформации при изгибе
- •Перемещения при изгибе Дифференциальное уравнение упругой линии балки и его интегрирование
- •Пример 8.4
- •Пример 8.5
- •Пример 8.6
- •Расчет на жесткость при изгибе
- •Определение перемещений с помощью интеграла Мора
- •Пример 8.7
- •Определение перемещений с помощью способа Верещагина
- •Пример 8.9
- •Пример 8.10
- •Определение перемещений с помощью правила «дирижера»
- •Критерии предельного состояния материала при сложном напряженном состоянии. Теории прочности
- •Гипотезы (теории) прочности
- •Критерии разрушения
- •Гипотеза наибольших нормальных напряжений (I теория прочности)
- •Гипотеза наибольших линейных деформаций (II теория прочности)
- •Критерии пластичности
- •Гипотеза наибольших касательных напряжений (III теория прочности)
- •Теория наибольшей удельной потенциальной энергии формоизменения (IV теория прочности)
- •Теория прочности Мора (V теория прочности)
- •Замечания о выборе теории прочности
- •Пример 9.1
- •Пример 9.2
- •Пример 9.3
- •Пример 9.4
- •Расчет на прочность при сложном сопротивлении
- •Косой (двойной) изгиб
- •Пример 10.1
- •Внецентренное растяжение (сжатие)
- •Пример 10.2
- •Пример 10.3
- •Изгиб с кручением
- •Общий случай сложного сопротивления
- •Перемещения в пространственном брусе малой кривизны при произвольной нагрузке
- •Пример 11.1
- •Пример 11.2
- •Статически неопределимые стержневые системы Статическая неопределимость
- •Метод сил. Канонические уравнения
- •Вычисление коэффициентов канонических уравнений
- •Пример 12.1
- •Пример 12.2
- •Определение перемещений в статически неопределимых системах
- •О рациональном выборе основной системы. Использование прямой и обратной симметрии
- •Пример 12.3
- •Пример 12.4
- •Пример 12.5
- •Пример 12.6
- •Устойчивость сжатых стержней. Продольный изгиб Понятие об устойчивости первоначальной формы равновесия
- •Определение критической силы. Формула Эйлера
- •Пределы применимости формулы Эйлера
- •Устойчивость сжатых стержней за пределами упругости. Полная диаграмма критических напряжений
- •Практические способы расчета на продольный изгиб
- •Пример 13.1
- •Расчет на устойчивость с помощью коэффициента снижения основного допускаемого напряжения
- •Рациональные формы сечений сжатых стержней
- •Пример 13.2
- •Расчет элементов конструкций, движущихся с ускорением Внутренние силы, вызванные движением. Силы инерции
- •Расчет поступательно движущихся систем
- •Напряжения в тонкостенном вращающемся кольце
- •Расчет равномерно вращающегося прямого бруса
- •Вращающиеся рамы
- •Расчет на прочность при ударном действии нагрузок Удар. Основные понятия
- •Вертикальный удар
- •Пример 15.1
- •Пример 15.2
- •Пример 15.3
- •Вертикальный удар вследствие внезапной остановки движения
- •Горизонтальный удар
- •Скручивающий удар
Определение критической силы. Формула Эйлера
Впервые проблема устойчивости сжатых стержней была поставлена Леонардом Эйлером. Эйлер вывел расчетную формулу для критической силы и показал, что ее величина существенно зависит от способа закрепления стержня. Идея метода Эйлера заключается в установлении условий, при которых кроме прямолинейной возможна и смежная (т.е. сколь угодно близкая к исходной) криволинейная форма равновесия стержня при постоянной нагрузке.
Предположим, что шарнирно закрепленный по концам прямой стержень, сжатый силой P=Pk, был выведен некоторой горизонтальной силой из состояния прямолинейного равновесия и остался изогнутым после устранения горизонтальной силы (рисунок 13.4). Если прогибы стержня малы, то приближенное дифференциальное уравнение его оси будет иметь такой же вид, как и при поперечном изгибе бруса:
. |
(13.2) |
Рисунок 13.4.
Совмещая начало координат с центром нижнего сечения, направим ось у в сторону прогибов стержня, а ось х - по оси стержня.
В теории продольного изгиба принято сжимающую силу считать положительной. Поэтому, определяя изгибающий момент в текущем сечении рассматриваемого стержня, получаем
.
Но, как следует из рисунок 13.4, при выбранном направлении осей у//<0, поэтому знаки левой и правой частей уравнения (17.2) будут одинаковыми, если в правой части сохранить знак минус. Если изменить направление оси у на противоположное, то одновременно изменятся знаки у и у// и знак минус в правой части уравнения (13.2) сохранится.
Следовательно, уравнение упругой линии стержня имеет вид
.
Полагая α2=Рк/EI, получаем линейное однородное дифференциальное уравнение
, |
(13.3) |
общий интеграл которого
.
Здесь A и B - постоянные интегрирования, определяемые из условий закрепления стержня, так называемых граничных или краевых условий.
Горизонтальное смещение нижнего конца стержня, как видно из рисунок 13.4, равно нулю, т. е. при х=0 прогиб у=0. Это условие будет выполнено, если B=0. Следовательно, изогнутая ось стержня является синусоидой
. |
(13.4) |
Горизонтальное смещение верхнего конца стержня также равно нулю, поэтому
.
Константа A, представляющая собой наибольший прогиб стержня, не может быть равна нулю, так как при A=0 возможна только прямолинейная форма равновесия, а мы ищем условие, при котором возможна и криволинейная форма равновесия. Поэтому должно быть sinαl=0. Отсюда следует, что криволинейные формы равновесия стержня могут существовать, если αl принимает значения π,2π,.nπ. Величина αl не может быть равна нулю, так как это решение соответствует случаю
или .
Приравнивая αl = nπ и подставляя
,
получаем
. |
(13.5) |
Выражение (13.5) называется формулой Эйлера. По ней можно вычислить критическую силу Рк при выпучивании стержня в одной из двух главных его плоскостей, так как только при этом условии справедливо уравнение (13.2), а следовательно и формула (13.5).
Выпучивание стержня происходит в сторону наименьшей жесткости, если нет специальных устройств, препятствующих изгибу стержня в этом направлении. Поэтому в формулу Эйлера надо подставлять Imin - меньшей из главных центральных моментов инерции поперечного сечения стержня.
Величина наибольшего прогиба стержня A в приведенном решении остается неопределенной, она принята произвольной, но предполагается малой.
Величина критической силы, определяемая формулой (13.5), зависит от коэффициента n. Выясним геометрический смысл этого коэффициента.
Выше мы установили, что изогнутая ось стержня является синусоидой, уравнение которой после подстановки α=πn/l в выражение (13.4) принимает вид
. |
(13.6) |
Синусоиды для n=1, n=2 изображены на рисунок 13.5. Нетрудно заметить, что величина n представляет собой число полуволн синусоиды, по которой изогнется стержень. Очевидно, стержень всегда изогнется по наименьшему числу полуволн, допускаемому его опорными устройствами, так как согласно (13.5) наименьшему n соответствует наименьшая критическая сила. Только эта первая критическая сила и имеет реальный физический смысл.
Рисунок 13.5.
Например, стержень с шарнирно опертыми концами изогнется, как только будет достигнуто наименьшее значение критической силы, соответствующее n=1, так как опорные устройства этого стержня допускают изгиб его по одной полуволне синусоиды. Критические силы, соответствующие n=2, n=3, и более, могут быть достигнуты только при наличии промежуточных опор (рисунок 13.6). Для стержня с шарнирными концевыми опорами без промежуточных закреплений реальный смысл имеет первая критическая сила
. |
(13.7) |
Формула (13.5), как следует из ее вывода, справедлива не только для стержня с шарнирно закрепленными концами, но и для любого стержня, который изогнется при выпучивании по целому числу полуволн. Применим эту формулу, например, при определении критической силы для стержня, опорные устройства которого допускают только продольные смещения его концов (стойка с заделанными концами). Как видно из рисунка 13.7, число полуволн изогнутой оси в этом случае n=2 и, следовательно, критическая сила для стержня при данных опорных устройствах
.
|
Рисунок 13.6 |
Рисунок13.7 |
Эту формулу можно записать в виде
. |
(13.8) |
Рассмотрим далее пример, чтобы показать, какой вид имеет выражение для критической силы в случаях, когда стойка выпучивается не по целому числу полуволн синусоиды.
Предположим, что стойка с одним защемленным и другим свободным концом (рисунок 13.8) сжата силой Р.
|
Рисунок 13.8 |
Рисунок13.9 |
Если сила P=Pk, то кроме прямолинейной может существовать также и криволинейная форма равновесия стойки (пунктир на рисунок 13.8).
Дифференциальное уравнение изогнутой оси стойки в изображенной на рисунок 13.8 системе координатных осей имеет прежний вид.
Общее решение этого уравнения:
.
Подчиняя это решение очевидным граничным условиям: y=0 при x=0 и y/=0 при x=l, получаем B=0, Aαcosαl=0.
Мы предположили, что стойка изогнута, поэтому величина A не может быть равна нулю. Следовательно, cosαl=0. Наименьший отличный от нуля, корень этого уравнения αl=π/2 определяет первую критическую силу
, |
(13.9) |
которой соответствует изгиб стержня по синусоиде
.
Значениям αl=3π/2, αl=5π/2 и т.д, как было показано выше, соответствуют большие величины Pk и более сложные формы изогнутой оси стойки, которые могут практически существовать лишь при наличии промежуточных опор.
В качестве второго примера рассмотрим стойку с одним защемленным и вторым шарнирно опертым концом (рисунок 13.9). Вследствие искривления оси стержня при P=Pk со стороны шарнирной опоры возникает горизонтальная реактивная сила R. Поэтому изгибающий момент в текущем сечении стержня
.
Дифференциальное уравнение упругой линии
или
.
Общее решение этого уравнения имеет вид
.
Используя условия на концах стержня, выразим постоянные A и B через R.
При x=0 прогиб у=0, следовательно, B=0.
При x=l угол поворота сечения равен нулю, поэтому y/(l)=0. Из этого условия получаем
.
Итак, имеем следующее уравнение упругой линии стержня:
.
Условие y(l)=0 будет выполнено, если
.
Отсюда получаем следующее трансцендентное разрешающее уравнение для определения величины α:
.
Наименьший корень этого уравнения определяет первую критическую силу. Это уравнение решается методом подбора. Нетрудно поверить, что наименьший, отличный от нуля, корень этого уравнения αl=4.493=1.43π.
Принимая αl=1.43π, получаем следующее выражение для критической силы:
. |
(13.10) |
Сопоставляя формулы (13.7), (13.8), (13.9) и (13.10), нетрудно заметить, что все они имеют одинаковое строение, и их можно обобщить на случай любых опорных устройств стойки, если записать формулу Эйлера в виде
. |
(13.11) |
Здесь μ=1/n - величина, обратная числу полуволн n синусоиды, по которой изогнется стержень. Постоянная μ называется коэффициентом приведения длины, а произведение μl - приведенной длиной стержня. Приведенная длина есть длина полуволны синусоиды, по которой изгибается этот стержень.
Случай шарнирного закрепления концов стержня называется основным. Из сказанного выше следует, что критическая сила для любого случая закрепления стержня может быть вычислена по формуле для основного случая при замене в ней действительной длины стержня его приведенной длиной μl.
Коэффициенты приведения μ для некоторых стоек даны на рисунок 17.10.
Рисунок 13.10.