Пример 8.7

Определить вертикальное перемещение среднего и угол поворота торцевого сечения консольной балки (рисунок 8.29).

Рисунок 8.29.

Изгибающий момент от заданной нагрузки в текущем сечении M_z(x)= – qx²/2.

При нагружении единичной силой в среднем сечении балка будет иметь два, участка, причем на первом M_z¹(x)=0, а на втором M_z¹(x)= – (x-l). Искомый прогиб в середине балки

.

Для определения угла поворота торцевого сечения приложим в этом сечении единичный момент. Тогда M_z¹(x)=1, искомый угол поворота торца балки

.

Следовательно, торцевое сечение поворачивается не в направлении вращения единичной пары (см. рисунок 8.29), а в противоположную сторону - по часовой стрелке.

Определение перемещений с помощью способа Верещагина

В 1925 г. А. Н. Верещагин предложил простой графоаналитический прием вычисления интеграла Мора в случаях, когда эпюра M_z¹ (или M_z) ограничена прямыми линиями. По существу это прием графоаналитического вычисления определенного интеграла от произведения двух функций f(x) и φ(x), из которых одна, например φ(x), линейная, т. е. имеет вид

.

Рассмотрим участок балки, в пределах которого эпюра изгибающих моментов от единичной нагрузки ограничена одной прямой линией M_z¹=kx+b, а изгибающий момент от заданной нагрузки изменяется по некоторому произвольному закону M_z. Тогда в пределах этого участка

.

Второй интеграл представляет собой площадь ω эпюры M_z на рассматриваемом участке, а первый - статический момент этой площади относительно оси y и поэтому равен произведению площади ω на координату ее центра тяжести x_c. Таким образом,

.

Здесь kx_c+b - ордината y_c эпюры M_z¹ под центром тяжести площади ω. Следовательно,

.

(8.45)

Произведение ωy_c будет положительным, когда ω и y_c расположены по одну сторону от оси эпюры, и отрицательным, если они находятся по разные стороны от этой оси.

Итак, по способу Верещагина операция интегрирования заменяется перемножением площади ω одной эпюры на ординату y_c второй (обязательно линейной) эпюры, взятой под центром тяжести площади ω.

Важно всегда помнить, что такое «перемножением» эпюр возможно лишь на участке, ограниченном одной прямой той эпюры, с которой берется ордината y_c. Поэтому при вычислении перемещений сечений балок способом Верещагина интеграл Мора по всей длине балки надо заменить суммой интегралов по участкам, в пределах которых эпюра моментов от единичной нагрузки не имеет изломов. Тогда

Рисунок 8.30.

.

(8.46)

Для успешного применения способа Верещагина необходимо иметь формулы, по которым могут быть вычислены площади ω и координаты x_c их центров тяжести. Приведенные в таблица 8.1 данные отвечают только наиболее простым случаям нагружения балки. Однако более сложные эпюры изгибающих моментов допустимо разбивать на простейшие фигуры, площади ω_i, и координаты y_ci которых известны, а затем находить произведение ωy_c для такой сложной эпюры суммированием произведений площадей ω_i ее частей на соответствующие им координаты y_ci. Объясняется это тем, что разложение множимой эпюры на части равносильно представлению функции M_z(x) в интеграле (8.46) в виде суммы интегралов. В некоторых случаях упрощает расчеты построение расслоенных эпюр, т. е. от каждой из внешних сил и пар в отдельности.

Если обе эпюры M_z и M_z¹ линейные, конечный результат их перемножения не зависит от того, умножается ли площадь первой эпюры на ординату второй или, наоборот, площадь второй на ординату первой.

Для практического вычисления перемещений по способу Верещагина надо:

1) построить эпюру изгибающих моментов от заданной нагрузки (основная эпюра);

2) снять с балки заданную нагрузку (но сохранить опоры) и приложить в сечение, перемещение которого ищется, в направлении этого перемещения единичную силу, когда ищется прогиб, или единичную пару, если искомым является угол поворота;

3) построить эпюру изгибающих моментов от единичной нагрузи (единичная эпюра);

4) разбить эпюры от заданных нагрузок на отдельные площади ω_i и вычислить ординаты y_Ci единичной эпюры под центрами тяжести этих площадей;

5) составить произведение ω_iy_Ci и просуммировать их.

Таблица 8.1.

Вид эпюры Mz	Площадь ω	Координата центра тяжести xc
(*) - Эти формулы несправедливы для такого случая нагружения

Пример 8.8

Определить прогиб конца консоли (рисунок 8.32) и угол поворота сечения В.

Рисунок 8.32.

Построим эпюры изгибающих моментов от заданных нагрузок, а затем от единичной силы, приложенной к концу консоли. и от единичной пары, приложенной в сечении В (см. рисунок 8.32).

Для определения прогиба точки А надо перемножить эпюры от заданной нагрузки и единичной силы. Разобьем основную эпюру на параболический треугольник, прямоугольник и треугольник (трапецию разбиваем на прямоугольник и треугольник потому, что заранее неизвестно, где находится ее центр тяжести) и вычислим ω_i, а затем по эпюре от единичной силы найдем координаты y_Ci. В результате получим

.

Определяя угол поворота сечения В, перемножаем эпюры от заданных нагрузок и единичного момента только на правом участке (на левом это произведение равно нулю). Обе эпюры на этом участке линейные, и поэтому безразлично, с какой из них брать площадь. Если площадь взять с эпюры от заданных нагрузок, то

.

Если же площадь взять с единичной эпюры, то

.

Результаты перемножения, как и следовало ожидать, одинаковы. Знак минус показывает, что сечение В поворачивается в направлении, противоположном направлению единичного момента.