Пределы применимости формулы Эйлера

Вывод формулы Эйлера основан на интегрировании дифференциального уравнения упругой линии стержня. Это уравнение справедливо только в пределах линейной зависимости между напряжениями и деформациями, поэтому и формула Эйлера применима только до тех пор, пока критические напряжения, определяемые по этой формуле, не превосходят предела пропорциональности σ_пц, т. е. при условии

.

Используя соотношение i²_min=I_min/F, где i_min - наименьший радиус инерции поперечного сечения стержня, можем записать это условие так:

или

.

(13.12)

Безразмерная величина λ называется гибкостью стержня:

.

(13.13)

В понятии гибкость находят отражение длина стержня, геометрические параметры поперечных сечений, условия его закрепления и вид нагружения внешними силами.

Обозначим через λ_o значение гибкости стержня, при котором σ_k=σ_пц. Очевидно, что

.

(13.14)

Согласно формуле (13.12), большим значениям гибкости соответствуют меньшие значения критических напряжений. Следовательно, формула Эйлера применима для стержней, гибкость которых

.

Например, для конструкционной малоуглеродистой стали с σ_пц=210 МПа и E=2.1·10⁵ МПа формулой Эйлера можно пользоваться лишь при гибкости стержня

,

а для алюминиевого сплава Д16Т с σ_пц=200 МПа и E=0.75·10⁵ МПа при

.

Устойчивость сжатых стержней за пределами упругости. Полная диаграмма критических напряжений

Тщательно поставленные опыты показали справедливость формулы Эйлера для стержней большой гибкости. В то же время эти опыты подтвердили неприменимость формулы Эйлера для стержней, гибкость которых λ<λ_o. Для таких стержней формула Эйлера дает значения критических нагрузок, превышающие их действительные значения. Попытки использовать формулу Эйлера для стержней средней и малой гибкости (λ<λ_o, σ_k>σ_пц) приводили иногда к серьезным катастрофам.

Теория устойчивости стержней за пределом пропорциональности была развита Т. Карманом (1909 г.).

Для критической нагрузки им было получено уравнение, аналогичное по структуре формуле Эйлера:

,

(13.15)

где Т - приведенный модуль, или модуль Кармана.

Модуль Т является величиной переменной, зависящей как от величины напряжений σ_k, так и от формы сечения. Зависимость модуля Т от напряжений σ_k устанавливается на основании диаграммы сжатия материала стойки в осях σ, ε. При напряжениях σ_kЈσ_пц приведенный модуль Т принимает значение модуля упругости Е. Однако, оказалось, что определяемые формулой (13.15) критические напряжения несколько выше экспериментальных.

Лучшее согласование с экспериментальными данными дает формула Энгессера-Шенли

,

(13.16)

где E_k - касательный модуль упругости, численно равный тангенсу угла наклона касательной к диаграмме сжатия σ=f(ε)материала при σ=σ_k.

Использование формул (13.15), (13.16) требует построения диаграммы сжатия для материала стержня, что осложняет их применение. Поэтому в практических расчетах на устойчивость при λ<λ_o часто пользуются либо непосредственно экспериментальными данными, либо эмпирическими формулами.

Наибольшее распространение имеет линейная формула, предложенная Ф.С. Ясинским (1895 г.):

.

(13.17)

В этой формуле λ - гибкость стержня, a и b - коэффициенты, зависящие от свойств материала. Например, для стали 3 при σ_в=380 МПа и σ_т=240 МПа формула (13.17) имеет вид

.

По формуле (13.17) проводится расчет на устойчивость стержней средней гибкости, разрушение которых при сжатии сопровождается значительным боковым выпучиванием.

Для стержней малой гибкости (λ<λ₁) понятие потери устойчивости неприменимо в том смысле, в каком применяется для стержней большой гибкости. Стержни, у которых длина невелика по отношению к размерам поперечного сечения, выходят из строя главным образом из-за того, что напряжения сжатия в них достигают предела текучести σ_т (при пластичном материале) или предела прочности σ_в (при хрупком материале). Поэтому для стержней малой гибкости в качестве критического напряжения принимается предел текучести σ_т или предел прочности σ_в. Четкой границы между стержнями малой и средней гибкости провести нельзя. В расчетах принимают λ₁=(0.2-0.4)λ_o.

Выбрав λ₁, можно найти коэффициенты a и b в формуле (13.17), составляя уравнение прямой, проходящей через две точки с координатами (λ₁, σ_т) и (λ_o, σ_пц):

.

Зависимость критических напряжений σ_к от гибкости λ изображается графически в виде полной диаграммы критических напряжений. Такая диаграмма для стали представлена на рисунок 13.11.

Рисунок 13.11.

Для стержней малой гибкости зависимость σ_к от λ от выражена горизонтальной прямой, для стержней средней гибкости - наклонной прямой (13.17), а для стержней большой гибкости - гиперболой Эйлера.

Если известна гибкость рассчитываемого стержня, то критическое напряжение может быть найдено непосредственно по диаграмме критических напряжений.