
- •§ 1. Сущность процентных платежей
- •§ 2. Вычисление наращенных сумм по простой процентной ставке
- •§ 3. Вычисление наращенных сумм на основе простых учетных ставок
- •§ 4. Расчеты в залоговых операциях (ломбардный кредит)
- •§ 5. Потребительский кредит
- •§ 6. Дисконтирование по простым процентам
- •6.1. Сущность дисконтирования
- •6.2. Математическое дисконтирование
- •Банковское дисконтирование (банковский учет)
- •§ 1. Вычисление наращенных сумм на основе сложной процентной ставки
- •1.1. Сущность вычисления платежей по сложной процентной ставке
- •1.2. Проценты за целое число лет
- •1.3. Проценты за дробное число лет
- •Номинальная и эффективная ставка процентов. Наращение процентов m раз в год
- •§ 2 Вычисление наращенных сумм на основе сложных учетных ставок
- •§ 3. Дисконтирование по сложным процентам
- •3.1. Математическое дисконтирование
- •Банковское дисконтирование
- •§4. Сравнение множителей наращения и дисконтирования
- •§ 5 Расчет наращенных сумм с учетом налогов
- •§ 6. Расчет наращенных сумм с учетом инфляции
- •§ 7. Действия с непрерывными процентами
- •§ 1. Финансовая эквивалентность обязательств
- •§ 2. Консолидация платежей
- •2.1. Определение суммы консолидированного платежа
- •2.2. Определение срока консолидированного платежа
- •§ 3. Общий случай изменения условий коммерческих сделок
- •§ 4. Эквивалентность процентных ставок
- •Эквивалентность простых процентных ставок
- •Эквивалентность простых и сложных ставок
- •Эквивалентность сложных ставок
- •Эквивалентность непрерывных и дискретных ставок
- •§ 5. Средние величины в финансовых расчетах
- •5.1. Средние процентные ставки
- •5.2. Средние размеры ссуд
- •§ 6. Пример применения уравнения эквивалентности
- •§ 1. Финансовые ренты. Основные понятия
- •§ 2. Наращенная сумма обычной ренты (постнумерандо)
- •Рента с начислением процентов в конце года
- •2.1.1. Годовая рента
- •Рента с периодом более года
- •. Ренты с начислением процентов раз в год
- •Годовая рента
- •Рента с периодом более одного года
- •Ренты с непрерывным начислением процентов
- •Годовая рента
- •Рента с периодом больше года
- •Сравнение результатов наращения обычной ренты с разными условиями выплат и начисления процентов
- •Погашение долгосрочной задолженности единовременным платежом
- •Инвестиции в предприятия, использующие невосполнимые ресурсы
- •§ 3. Современная величина (ценность) обычной ренты
- •Ренты с начислением процентов в конце года
- •Годовая рента
- •Рента с периодом более года
- •Ренты с начислением процентов m раз в год
- •Годовая рента
- •Рента с периодом больше года
- •Ренты с непрерывным начислением процентов
- •Вечная рента
- •Сравнение современных стоимостей обычной ренты
- •§ 4. Определение параметров постоянных рент (постнумерандо)
- •Определение члена ренты
- •Определение срока ренты
- •Определение процентной ставки
- •§ 5. Определение параметров других видов постоянных рент
- •Рентные платежи с простыми процентами
- •Смешанные ренты
- •Отложенные ренты
- •Рента пренумерандо
- •Ренты с платежами в середине периодов
- •§ 6. Постоянная непрерывная рента
- •6.1. Наращенная сумма и современная стоимость
- •6.2. Определение срока ренты
- •6.3. Определение процентной ставки
- •§ 7. Конверсии постоянных рент
- •7.1. Виды конверсий
- •7.2 Выкуп ренты
- •7.3. Рассрочка платежей
- •7.4. Замена ренты с одними условиями на ренту с другими условиями
- •7.4.1. Замена немедленной ренты на отсроченную
- •7.4.2. Изменение продолжительности и срочности рент
- •7.4.3. Общий случай замены ренты
- •7.5. Консолидация рент
- •§ 1. Ренты с постоянным абсолютным изменением платежей
- •§ 2. Ренты с постоянным относительным изменением платежей
- •§ 3. Переменные непрерывные потоки платежей
- •4.1. Наращенная сумма и современная стоимость
- •4.2. Линейно изменяющийся поток платежей
- •Простые проценты
- •Сложные проценты
- •Эквивалентность финансовых обязательств
- •Финансовые ренты
- •Порядковые номера дней в году
- •Множители наращения (сложные проценты)
- •Множители наращения (сложные проценты)
- •Множители наращения (сложные проценты)
- •Множители наращения (сложные проценты)
- •Множители наращения (сложные проценты)
- •Множители наращения (сложные проценты)
- •Дисконтные множители (сложные проценты),
- •Дисконтные множители (сложные проценты)
- •Дисконтные множители (сложные проценты)
- •Дисконтные множители (сложные проценты)
- •Дисконтные множители (сложные проценты)
- •Дисконтные множители (сложные проценты)
- •Дисконтные множители (сложные проценты)
- •Коэффициенты наращения годовой ренты,
- •Коэффициенты наращения годовой ренты
- •Коэффициенты наращения годовой ренты
- •Коэффициенты наращения годовой ренты
- •Коэффициенты наращения годовой ренты
- •Коэффициенты наращения годовой ренты
- •Коэффициенты наращения годовой ренты
- •Коэффициенты наращения годовой ренты
- •Коэффициенты привидения годовой ренты,
- •Коэффициенты привидения годовой ренты
- •Коэффициенты привидения годовой ренты
- •Коэффициенты привидения годовой ренты
- •Коэффициенты привидения годовой ренты
- •Коэффициенты привидения годовой ренты
- •Коэффициенты привидения годовой ренты
- •Коэффициенты привидения годовой ренты
- •424001, Г. Йошкар-Ола, пл. Ленина, 1
§ 1. Ренты с постоянным абсолютным изменением платежей
В этом случае члены ренты изменяются
таким образом, что каждый последующий
платеж отличается от предыдущего на
одну и ту же постоянную величину
,
то есть члены ренты изменяются по закону
арифметической прогрессии. А именно,
если рента выплачивается
лет (постнумерандо), получаем следующую
последовательность членов ренты:
,
,
,
...,
,
и наращенная сумма такой ренты
.
(1)
Преобразуем формулу (3):
,
где
.
Умножим
на
и вычислим
Следовательно,
.
Окончательно получаем
.
(2)
Если члены ренты уменьшаются на величину , то
.
(3)
Для рент пренумерандо, когда платежи вносятся вначале периодов
.
(4)
Для нахождения современной стоимости
такой ренты воспользуемся равенством
,
откуда
.
(5)
Для определения размера первого платежа при заданном значении прироста , процентной ставки и наращенной суммы используем формулу (4):
,
(6)
а величина прироста может быть вычислена как (из (4)):
.
(7)
№ 87. Фирма получила кредит в 5 млн. руб., который должен быть погашен в течение 5 лет платежами, постоянно возрастающими на 200 тыс. руб. Платежи и начисление процентов (12% годовых) на них производятся в конце года. Определить размер первого платежа и общую сумму выплат.
Решение. Так как
млн. руб.,
тыс. руб.,
,
лет, то из формулы (8) вычислим
:
(млн. руб.).
Вычислим по формуле (4):
(млн. руб.).
Проверим вычисления по формуле
(млн. руб.).
§ 2. Ренты с постоянным относительным изменением платежей
В этом случае члены ренты изменяются таким образом, что каждый последующий платеж больше предыдущего в раз. Тогда получаем за ( лет) следующую последовательность платежей:
,
,
,
...,
,
и наращенная сумма ренты будет вычисляться как
.
Вычислив
,
получим
.
(8)
Современная стоимость такой ренты равна:
.
(9)
№ 88. В условиях № 87 платежи увеличиваются каждый год на 20%. Определить размер первого платежа и общую сумму выплат.
Решение. Так как
,
то из (11) можем получить
млн, руб.
Вычислим наращенную сумму
(млн. руб.).
Расхождение с результатом № 88 вызвано ошибками округления.
Для рент пренумерандо получим:
.
(10)
Некоторый практический интерес представляет соотношение эквивалентности между абсолютным ( ) и относительным ( ) приростами членов ренты. Если приравнять современные стоимости обеих видов рент
,
можно получить уравнение
,
решив которое относительно или , можно найти соответствующие зависимости между ними, например,
.
(11)
Вычисление же через приводит к необходимости решения уравнения -го порядка, для чего требуются знания методов вычислительной математики.