Смешанные ренты
На практике возможны случаи, когда для - срочных рент применяется смешанный метод начисления процентов, при котором на вносимые в течение года платежи начисляются простые проценты, а за целые годовые периоды – сложные проценты. Тогда расчет наращенной суммы производится в два этапа:
Сначала вычисляется наращенная сумма за один год:
,
(33)
как сумма арифметической прогрессии с
первым членом
и разностью
.
Вычисляется наращенная за лет сумма:
(34)
№ 73. Решить № 56 при условии применения смешанной ренты.
Решение. Так как
,
,
;
,
то
и
руб.,
что больше, чем в № 56.
Отложенные ренты
Рассмотрим отложенную (отсроченную) ренту, то есть ренту, начало выплат которой сдвинуто вперед на лет относительно начального момента времени. Очевидно, что этот сдвиг по времени не изменяет наращенной суммы ренты. Но современная величина ренты при этом изменяется очень сильно.
Пусть современная стоимость немедленной ренты равна . Тогда современная стоимость ренты, отложенной на лет, равна дисконтированной величине современной стоимости немедленной ренты:
,
(35)
где
– современная стоимость отложенной
ренты,
– дисконтный множитель за
лет.
№ 74. Строительная фирма заключила контракт на строительство дома, согласно которого заказчик через два года после окончания строительства производит оплату в течение трех лет равными годовыми платежами, производимыми в конце года, в размере 5 млн. руб. каждый. Определить выигрыш заказчика, полученный в результате отсрочки платежа на два года, если процентная ставка равна 12% годовых.
Решение. Выигрыш заказчика равен разности между современными стоимостями немедленной и отложенной рент, то есть
руб.
Современную стоимость отложенной финансовой ренты можно использовать при решении целого ряда задач. Пусть рента постнумерандо с параметрами , , делится между двумя участниками (например, наследниками) следующим образом: сначала рента выплачивается первому участнику (немедленная рента), а затем второму участнику (отложенная рента). Если оба участника получают например по 50% капитали-зированной стоимости ренты, то срок начала получения ренты вторым участником можно определить из формулы:
.
А именно,
,
.
Откуда следует
.
(36)
№ 75. Пусть рента постнумерандо сроком 10 лет делится поровну между двумя участниками. Определить срок начала выплат ренты второму участнику, если процентная ставка равна .
Решение:
года.
Таким образом, второй участник получает ренту в течение следующих семи лет.
Рента пренумерандо
Рассмотрим ренты, в которых платежи производятся в начале каждого периода, в отличие от ранее рассмотренных рент, в которых платежи производились в конце каждого периода.
Различие между этими рентами заключается
в числе периодов начисления процентов.
Легко увидеть, что наращенная сумма
ренты пренумерандо больше наращенной
суммы ренты постнумерандо в
раз, так как каждый член ренты в этом
случае «работает» на один период больше:
,
(37)
где
– наращенная сумма ренты постнумерандо,
– наращенная сумма ренты пренумерандо,
– процентная ставка.
Если проценты начисляются раз в год, то
.
Для -срочной ренты получаем
,
.
Такая же зависимость существует и между современными стоимостями:
,
и
т.д.,
где
– современная стоимость ренты
пренумерандо.
№ 76. Найти размер разового платежа в условиях № 69, если платежи производятся в начале каждого квартала.
Решение. Так как
,
;
,
то из равенства
получаем:
руб.
Таким образом, ежеквартальный взнос окажется меньше на 182404 руб.