§2.3. Системы счисления
В повседневной жизни мы имеем дело с десятичной системой счисления, в основном, используя арабские цифры. В то же время в электронных вычислительных машинах (ЭВМ) информация кодируется в двоичной системе счисления.
Система счисления – это способ наименования и изображения чисел с помощью символов (цифр), имеющих определенные количественные значения.
В зависимости от способа изображения чисел выделяется два типа систем счисления:
позиционные системы счисления, в которых количественное значение каждой цифры зависит от ее места (позиции) в числе, например, арабская система счисления;
непозиционные системы счисления, в которых цифры не меняют своего количественного значения при смене позиции в числе, например, римская система счисления.
Основание позиционной системы счисления (P) – это количество различных цифр, используемых для изображения чисел в системе счисления. При этом сами значения цифр лежат в пределах от 0 до P-1.
В позиционной системе счисления любое число представляется суммой произведений коэффициентов (цифр, из которых состоит число) на основание системы счисления в степени, соответствующей местоположению цифры в числе. При этом первой цифре целой части числа (слева от запятой) соответствует позиция 0, второй 1 и т.д., а первой цифре дробной части числа (справа от запятой) соответствует позиция -1, второй -2 и т.д.
В общем случае любое число A, состоящее из m знаков в целой части и n знаков в дробной части, в позиционной системе счисления с основанием P будет записано в следующем виде:
A=am-1*Pm-1+…+a1*P1+a0*P0+a-1P-1+…a-n*P-n (1)
где нижние индексы 0…m-1 определяют местоположение цифры в целой части числа, а индексы -1…-n – соответственно, в дробной.
Максимальное число, которое может быть представлено в m разрядах целой части числа, выражается формулой: Amax=Pm–1
Минимальное значащее (не равное 0) число, которое можно записать в n разрядах дробной части, выражается формулой: Amin=P-n
Основные данные по системам счисления (основание и используемые символы) представлены в табл. 2.1.
Таблица 2.1
Характеристика систем счисления
Система счисления |
Основание |
Используемые символы (коэффициенты) |
Десятичная |
10 |
0 – 9 |
Двоичная |
2 |
0 – 1 |
Восьмеричная |
8 |
0 – 7 |
Шестнадцатеричная |
16 |
0 – 9, A(10), B(11), C(12), D(13), E(14), F(15) |
Десятичное число
357,4(10)=3*102+5*101+7*100+4*10-1
Двоичное число
10110,1(2)=1*24+0*23+1*22+1*21+0*20+1*2-1=16+4+2+0,5=22,5(10)
Восьмеричное число
357,4(8)=3*82+5*81+7*80+4*8-1=192+40+7+0,5=239,5(10)
Шестнадцатеричное число
3BE,4(16)=3*162+11*161+14*160+4*16-1=768+176+14+0,25=958,25(10)
§2.4. Перевод чисел из одной системы счисления в другую
Для перевода числа из десятичной системы счисления в двоичную (восьмеричную или шестнадцатеричную):
для целой части числа используется метод последовательного деления на основание новой системы счисления, то есть на 2 (8 или 16). Деление продолжается до тех пор, пока результат деления не будет равен 0. В этом случае остаток всегда будет меньше основания новой системы счисления, то есть 1 (для двоичной системы счисления), от 1 до 7 (для восьмеричной системы счисления) или от 1 до 15 (для шестнадцатеричной системы счисления). Для составления нового числа необходимо записать полученные остатки от деления в обратном порядке;
для дробной части числа используется метод последовательного умножения на основание новой системы счисления, то есть на 2 (8 или 16). Целая часть результата умножения используется для записи числа, а дробная снова умножается на основание новой системы счисления. Умножение продолжается до тех пор, пока дробная часть не станет равной 0 или не будет достигнута требуемая точность перевода.
Например, переведем десятичное число 19,125(10) в двоичную систему счисления.
Целую часть (19) последовательно делим на 2:
|
Дробную часть (0,125) умножаем на 2:
|
Итак, новое число запишется следующим образом:
19,125(10)=10011,001(2)
Аналогично переводятся десятичные числа в восьмеричные и шестнадцатеричные.
Для обратного перевода двоичных (восьмеричных и шестнадцатеричных) чисел в десятичные необходимо представить их по формуле (1) и рассчитать соответствующую сумму.
Для перевода числа из двоичной системы счисления в восьмеричную или шестнадцатеричную необходимо разбить исходное двоичное число на триады1 (для восьмеричной СС) или тетрады2 (для шестнадцатеричной СС), а затем заменить каждую триаду или тетраду соответствующей восьмеричной или шестнадцатеричной цифрой. Для целой части числа триады (тетрады) формируются от запятой справа налево, для дробной – слева направо. Недостающие двоичные цифры заменяются 0.
Например, двоичное число 11101111,1(2) в восьмеричной системе счисления будет представлено так:
011 101 111,100(2)=357,4(8)
То же самое двоичное число 11101111,1(2) в шестнадцатеричной системе счисления будет представлено так:
1110 1111,1000(2)=EF,8(16)
Для обратного перевода восьмеричных или шестнадцатеричных чисел в двоичные необходимо каждую восьмеричную или шестнадцатеричную цифру заменить соответствующей триадой или тетрадой из двоичных цифр.
Например, восьмеричное число 315(8) в двоичной системе счисления будет представлено так:
315,6(8)=011 001 101,110(2)=11001101,11(2)
Шестнадцатеричное число 3BE,4 (16) в двоичной системе счисления будет представлено так:
3BE,4(16)=0011 1011 1110,0100(2)=1110111110,01(2)