62. Производственная функция фирмы

Пусть фирма производит один вид продукции, используя несколько видов затрат (ресурсов). В этом случае она должна выбрать точку в пространстве ресурсов, которое состоит из всех возможных комбинаций затрат. Предположение, что все затраты могут непрерывно изменяться (безгранично делимы) протранство ресурсов будет представлять собой неотрицательный ортант пространство .

Величина - количество ресурсов, используемое фирмой.

Технологическая связь между выпуском продукта и затратами называется производственной функцией. Математически это понятие можно определить следующим образом.

Определение. Неотрицательную функцию называют производственной функцией, если

1. 

2. (совокупность покомпонентных неравенств)

3. - вогнута по каждому аргументу.

Величина может представлять собой либо физический объем выпущенной продукции при выбранной единице ее измерения, либо доход фирмы, т.е. стоимость произведенной продукции.

Первое требование к производственной функции является отражением того факта, что невозможно произвести продукцию без затрат. Второе требование также прозрачно: увеличение затрат не может привести к уменьшению выпуска продукции.

Далее считаем, что имеет непрерывные частные производные по каждому аргументу в тех точках, в которых эти производные имеют смысл (не имеет смысл для тех, у которых i-тая компонента равна нулю, мы можем говорить тогда об односторонних. Но, вообще говоря, и односторонние могут быть не определены).

Пусть - единичный вектор (орт) пространства , у которого -тая компонента равна 1, - приращение -го ресурса, - соответствующее приращение выпуска продукции. Величина , показывающая прирост выпуска на единицу прироста -го ресурса, называется производительностью -го ресурса в точке .

Величину называют предельной производительностью i-го ресурса или предельным продуктом по -му ресурсу. Из второго условия, наложенного на ПФ следует, что все продукты неотрицательны.

Третье условие связано с законом об убывающей доходности (см п5). Оно выполняется тогда и только тогда, когда не возрастает по -ому аргументу. Это означает, что последовательное увеличение любого вида затрат может привести только к уменьшению предельного продукта, то есть к меньшему приросту производственной функции.

Примеры производственной функции:

1. Линейная

2. ПФ Кобба-Дугласа

3. ПФ Леонтьева: ..

Пусть с целью расширения производства фирма увеличивает все виды затрат в раз, тогда относительный прирост производства составит: где вектор первоначальных затрат фирмы.

При этом относительное увеличение каждого вида затрат

Величина (1) является локальным показателем увеличения выпуска продукции при расширении масштабов производства и называется эластичностью производства.

Легко видеть ,что эластичность >=0. Если она >1(<1), то при пропорциональном расширении пространства выпуск продукции возрастает в большей (меньшей) степени чем затраты.

Заметим, что =[ можно представить как]=, где

Т.к. , то эластичность

Определим эластичность выпуска по отношению к i-му ресурсу следующим образом:

(2)

Легко видеть, есть предел отношения относительного увеличения выпуска продукции к относительному приращению i-го вида затрат, когда это приращение стремиться к нулю, а другие затраты не изменяются.

Из формул (1),(2) получаем:

Таким образом, эластичность производства равна сумме эластичностей выпуска по отношениям ко всем ресурсам.

Замечание: Иногда при моделировании производства ограничиваются двухфакторными ПФ, где - затраты капитала, - затраты трудовых ресурсов.

ПФ такого типа часто используется в макроэкономике. На микроуровне (при большей детализации) модели с двухфакторными ПФ-ми могут быть грубыми.