4.2. Показатели вариации

Вариация – это различие в значениях какого-либо признака у разных единиц данной совокупности в один и тот же период или момент времени.

Например, работники фирмы различаются по доходам, за­тратам времени на работу, росту, весу, любимому занятию в свободное время и т.д.

Вариация возникает в результате того, что индивидуальные значения признака складываются под совокупным влиянием разнообразных факторов (условий), которые по-разному соче­таются в каждом отдельном случае. Таким образом, величина каждого варианта объективна.

Исследование вариации в статистике имеет большое значение, помогает познать сущность изучаемого явления. Особенно акту­ально оно в период формирования многоукладной экономики.Измерение вариации, выяснение ее причины, выявление влияния отдельных факторов дает важную информацию (например, о про­должительности жизни людей, доходах и расходах населения, фи­нансовом положении предприятия и т. п.) для принятия научно обоснованных управленческих решений.

Средняя величина дает обобщающую характеристику при­знака изучаемой совокупности, но она не раскрывает строения совокупности, которое весьма существенно для ее познания. Средняя не показывает, как располагаются около нее варианты осредняемого признака, сосредоточены ли они вблизи средней или значительно отклоняются от нее. Средняя величина при­знака в двух совокупностях может быть одинаковой, но в одном случае все индивидуальные значения отличаются от нее мало, а в другом – эти отличия велики, т.е. в одном случае вариация признака мала, а в другом – велика, это имеет весьма важное значение для характеристики надежности средней величины.

Чем больше варианты отдельных единиц совокупности различаются между собой, тем больше они отличаются от своем средней, и наоборот, – чем меньше варианты отличаются друг от друга, тем меньше они отличаются от средней, которая в тан ком случае будет более реально представлять всю совокупность.Вот почему ограничиваться вычислением одной средней в ряде случаев нельзя. Нужны и другие показатели, характеризующие отклонения отдельных значений от общей средней.

Это можно показать на таком примере. Предположим, что одинаковую работу выполняют две бригады, каждая – из трех человек. Пусть количество деталей, шт., изготовленных за смену отдельными рабочими, составляло:

в первой бригаде – 95, 100, 105 (= 100 шт.);

во второй бригаде – 75, 100, 125 ( = 100 шт.).

Средняя выработка на одного рабочего в обеих бригадах одинакова и составляет== 100 шт., однако колеблемость выработки отдельных рабочих в первой бригаде значительно меньше, чем во второй.

Поэтому возникает необходимость измерять вариацию признака в совокупностях. Для этой цели в статистике применяют ряд обобщающих показателей.

1. К показателям вариации относятся: размах вариации, сред­нее линейное отклонение, дисперсия и среднее квадратическое откло­нение, коэффициент вариации.

2. Самым элементарным показателем вариации признака яв­ляется размах вариации R, представляющий собой разность между максимальным и минимальным значениями признака:

.

(4.3)

В нашем примере размах вариации сменной выработки дета­лей составляет: в первой бригаде – R₁= 10 шт. (т. е. 105 – 95); во второй бригаде –R₂= 50 шт. (т. е. 125 – 75), что в 5 раз больше.

Это свидетельствует о том, что при численном равенстве средняя выработка первой бригады более «устойчива». Размах вариации может служить базой расчета возможных резервов роста выработки. Таких резервов больше у второй бригады, по­скольку в случае достижения всеми рабочими максимальной для этой бригады выработки деталей, ею может быть изготовлено 375 шт., т.е. (3125), а в первой – только 315 шт., т.е. (3105).

Однако размах вариации показывает лишь крайние отклоне­ния признака и не отражает отклонений всех вариантов в ряду. При изучении вариации нельзя ограничиваться только опреде­лением ее размаха. Для анализа вариации необходим показатель, который отражает все колебания варьирующего признака и даёт обобщённую характеристику. Простейший показатель такого типа – среднее линейное отклонение

3. Среднее линейное отклонение d представляет собой сред­нюю арифметическую абсолютных значений отклонений отдель­ных вариантов от их средней арифметической (при этом всегда предполагают, что среднюю вычитают из варианта: ().

Среднее линейное отклонение:

– для несгруппированных данных

,

(4.4)

где n– число членов ряда.

– для сгруппированных данных

,

(4.5)

где – сумма частот вариационного ряда.

В формулах (4.4) и (4.5) разности в числителе взяты по модулю, (иначе в числителе всегда будет ноль – алгебраическая сумма отклонений вариантов от их средней арифметической). Поэтому среднее линейное отклонение как меру вариации при­знака применяют в статистической практике редко (только в тех случаях, когда суммирование показателей без учета знаков име­ет экономический смысл). С его помощью, например, анализи­руется состав работающих, ритмичность производства, оборот внешней торговли.

Дисперсия признака представляет собой средний квадрат отклонений вариантов от их средней величины, она вычисляет­ся по формулам простой и взвешенной дисперсий (в зависимо­сти от исходных данных):

– простая дисперсия для несгруппированных данных

,

(4.6)

– взвешенная дисперсия для вариационного ряда

,

(4.7)

Формула (4.7) применяется при наличии у вариантов своих весов (или частот вариационного ряда).

Формулу для расчета дисперсии (4.6) можно преобразовать, учитывая, что

(4.8)

т. е. дисперсия равна разности средней из квадратов вариан­тов и квадрата их средней.

Техника вычисления дисперсии по формулам (4.6), (4.7) достаточно сложна, а при больших значениях вариантов и час­тот может быть громоздкой.

Расчет можно упростить, используя свойства дис­персии(доказываемые в математической статистике). При­ведем два из них:

первое – если все значения признака уменьшить или увеличить на одну и ту же постоянную величину А, то дисперсия от этого не изменится;

второе – если все значения признака уменьшить или увеличить в одно и то же число раз (i раз), то дисперсия соответст­венно уменьшится или увеличится в i² раз. Используя второе свойство дисперсии, разделив все вариан­ты на величину интервала, получим следующую формулу вы­числения дисперсии в вариационных рядах с равными интервалами по способу моментов:

,

(4.9)

где – дисперсия, исчисленная по способу моментов; i– величина интервала;новые (преобразованные) значения вариантов(А – условный ноль, в качестве которого удобно использовать середину интервала, обладающего наибольшей частотой); –момент второго порядка; –квадрат момента первого порядка.

Расчет дисперсии по формуле (4.9) менее трудоемок.

Дисперсия имеет большое значение в экономическом анали­зе. В математической статистике важную роль для характеристи­ки качества статистических оценок играет их дисперсия. Ниже, в частности, будет показано разложение дисперсии на соответст­вующие элементы, позволяющие оценить влияние различных факторов, обуславливающих вариацию признака; использование дисперсии для построения показателей тесноты корреляционной связи при оценке результатов выборочных наблюдений.

1. Среднее квадратическое отклонение равно корню квад­ратному из дисперсии:

для несгруппированных данных

(4.10)

для вариационного ряда

.

(4.11)

Среднее квадратическое отклонение – это обобщающая ха­рактеристика размеров вариации признака в совокупности; оно показывает, на сколько в среднем отклоняются конкретные ва­рианты от их среднего значения; является абсолютной мерой колеблемости признака и выражается в тех же единицах, что и варианты, поэтому экономически хорошо интерпретируется.

Обозначим: 1 – наличие интересующего нас признака; 0 – его отсутствие; р – доля единиц, обладающих данным признаком; q – доля единиц, не обладающих данным признаком; p + q =1. Исчислим среднее значение альтернативного признака и его дисперсию. Среднее значение альтернативного признака

.

(4.12)

так как р + q = 1.

Дисперсия альтернативного признака

.

(4.13)

Подставив в формулу дисперсии q = 1- р, получим

.

(4.14)

Таким образом, = pq – дисперсия альтернативного при­знака равна произведению доли единиц, обладающих призна­ком, на долю единиц, не обладающих данным признаком.

Например, если на 10 000 человек населения района прихо­дится 4 500 мужчин и 5 500 женщин, то

Дисперсия альтернативного признака = pq = 0,45 0,55 = 0,2475.

Предельное значение дисперсии альтернативного признака равно 0,25. Оно получается прир = 0,5.

Среднее квадратическое отклонение альтернативного признака

.

(4.15)

Если, например, 2 % всех деталей бракованные (р = 0,02), то 98 % – годные (q = 0,98), тогда дисперсия доли брака

= 0,02 – 0,98 = 0,0196.

Среднее квадратическое отклонение доли брака составит:

= 0,14, т.е. = 14 %.

При вычислении средних величин и дисперсии для интерваль­ных рядов распределения истинные значения признака заменяются центральными (серединными) значениями интервалов, которые отличаются от средней арифметической значений, включенных в ин­тервал. Это приводит к появлению систематической погрешности при расчете дисперсии. В.Ф.Шеппард установил, что погрешность в расче­те дисперсии, вызванная применением сгруппированных данных, со­ставляет 1/12 квадрата величины интервала (т.е. i²/12) как в сторону занижения, так и в сторону завышения величины дисперсии.

Поправка Шеппарда должна применяться, если распределе­ние близко к нормальному, относится к признаку с непрерыв­ным характером вариации, построено по большому количеству исходных данных (n>500). Однако исходя из того, что в ряде случаев обе погрешности, действуя в противоположных направ­лениях, нейтрализуются и компенсируют друг друга, можно иногда отказаться от введения поправок.

Чем меньше значение дисперсии и среднего квадратического отклонения, тем однороднее (количественно) совокуп­ность и тем более типичной будет средняя величина.

В статистической практике часто возникает необходимость сравнения вариаций различных признаков. Например, боль­шой интерес представляет сравнение вариаций возраста рабо­чих и их квалификации, стажа работы и размера заработной платы, себестоимости и прибыли, стажа работы и производи­тельности труда и т.д. Для подобных сопоставлений показате­ли абсолютной колеблемости признаков непригодны: нельзя сравнивать колеблемость стажа работы, выраженного в годах, с вариацией заработной платы, выраженной в рублях.

Для осуществления такого рода сравнений, а также сравне­ний колеблемости одного и того же признака в нескольких со­вокупностях с различным средним арифметическим используют относительный показатель вариации – коэффициент вариации.

Коэффициент вариации представляет собой выраженное в процентах отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической:

.

(4.16)

Коэффициент вариации используют не только для сравнитель­ной оценки вариации единиц совокупности, но и как характеристи­ку однородности совокупности. Совокупность считается количест­венно однородной, если коэффициент вариации не превышает 33 %.

Покажем расчет различными способами показателей вариа­ции на примере данных о сменной выработке рабочих бригады, представленных интервальным рядом распределения.

Исчислим среднесменную выработку, шт.:

Рассчитаем дисперсию выработки по (5.21):

Найдем среднее квадратическое отклонение, шт.:

.

Определим коэффициент вариации, %:

.

Таким образом, данная бригада рабочих достаточно однородна по выработке, поскольку вариация признака составляет лишь 8 %.

Теперь выполним расчет дисперсии по формуле (4.8) и по способу моментов по формуле (4.9), для расчета воспользуемся данными табл. 4.3, графы 8 – 11.

Расчет дисперсии по формуле (4.5):

Расчет дисперсии по способу моментов, см. формулу (4.7):

.

где А = 50 – центральный вариант с наибольшей частотой; i = 20 – величина интервала данного ряда.

Таблица 4.3

Распределение рабочих по сменной выработке изделия А и расчетные значения для исчисления показателей вариации

Группы рабочих по сменной выработке изделий, шт.	Число рабочих f	Середина интервала x	Расчетные значения
			xf, тыс		, тыс	, тыс	, тыс
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
170-190	10	180	1,8	-36	1,3	12,96	324	-2	-20	40
190-210	20	200	4,0	-16	0,3	5,12	800	-1	-20	20
210-230	50	220	11,0	4	0,016	0,8	2 420	0	0	0
230-250	20	240	4,8	24	0,576	11,52	1 152	1	20	20
Итого	100	–	21,6	–	–	30,4	4 696	–	-20	80

.

Как видим, наименее трудоемким является метод исчисле­ния дисперсии способом моментов.