Вычисление коэффициентов канонических уравнений

Коэффициенты канонических уравнений обычно вычисляются с помощью интеграла Мора (8.43) и, где это возможно, применяется правило Верещагина.

Вычисления начинаются с определения внутренних силовых факторов и построения эпюр этих факторов отдельно от заданной нагрузки и единичных усилий, приложенных вместо искомых усилий X₁, X₂, X₃,.X_n. Силовым факторам и их эпюрам от единичного усилия приписывается номер i соответствующего усилия X_i, а у силовых факторов от заданной нагрузки проставляется индекс P или 0. Эпюры от заданных нагрузок называются основными, а от единичных усилий - единичными.

Согласно методу Мора далее надо снять с эквивалентной системы все внешние для нее нагрузки, включая усилия X₁, X₂, X₃,.X_n, а затем в сечениях, перемещение которых ищется, приложить единичные нагрузки (силы или пары) и вычислить внутренние силовые факторы от каждой из этих нагрузок. Необходимость в таких вычислениях отпадает, если единичные нагрузки совместить по направлению с искомыми усилиями X₁, X₂, X₃,.X_n, так как в этом случае внутренние силовые факторы от единичных нагрузок будут по величине и знаку равны найденным ранее одноименным силовым факторам от единичных усилий, приложенных вместо X_i. Обычно так всегда и направляют единичные нагрузки. Но в таком случае для определения коэффициентов канонических уравнений надо вычислить интегралы Мора от произведения ранее найденных внутренних силовых факторов с номерами, соответствующими индексам у этих коэффициентов, или перемножить по правилу Верещагина эпюры этих факторов с теми же номерами.

При определении коэффициентов δ_iP перемножаются внутренние силовые факторы (или их эпюры) от заданной нагрузки и от соответствующего единичного усилия с индексом i. Для побочных коэффициентов δ_ik и δ_ki интегралы Мора отличаются только последовательностью сомножителей с индексами i и k. Но от перестановки сомножителей величины интегралов не изменяются, поэтому всегда

.

Если δ_ik - угол поворота сечения, δ_ki - линейное смещение, то это равенство надо понимать как численное.

Отметим, что главные коэффициенты δ_ii всегда отличны от нуля и положительны, а побочные коэффициенты δ_ik и свободные члены δ_iP могут быть положительными, отрицательными и равными нулю.

Последовательность решения статически неопределимых задач

Решение статически неопределимых задач методом сил проводится в такой последовательности.

1. Устанавливается степень статической неопределимости системы как разность между числом искомых неизвестных усилий и числом независимых уравнений равновесия. При этом учитывается, что простой шарнир, соединяющий два стержня системы, уменьшает степень статической неопределимости на единицу, так как снимает одну связь, препятствующую повороту одной части системы относительно другой. Тем самым простой шарнир позволяет добавить к уравнениям равновесия всей системы уравнение равновесия присоединенной этим шарниром части системы.

2. Из заданной статически неопределимой системы выделяется основная система путем удаления лишних связей и внешней нагрузки.

В качестве лишних могут быть выбраны различные связи. Поэтому для одной и той же статически неопределимой системы можно получить сколько угодно основных систем. Но любая основная система должна быть обязательно геометрически неизменяемой и статически определимой.

Нельзя выбирать в качестве основной и мгновенно геометрически изменяемую систему, потому что в такой системе при любой сколь угодно малой нагрузке усилия получаются бесконечно большими или неопределенными.

3. Изображается соответствующая выбранной основной эквивалентная система, в которой взамен снятых лишних связей и в их направлении приложены силы X_i, если связи препятствовали линейному перемещению, и пары X_k, если они исключали повороты сечений.

4. Составляются канонические уравнения метода сил.

5. Вычисляются коэффициенты канонических уравнений аналитически по формуле (8.43) или перемножением эпюр по способу Верещагина. Для этого строятся в основной системе эпюры внутренних силовых факторов отдельно от заданной нагрузки и всех единичных усилий, приложенных вместо X₁, X₂, X₃,...X_n. Индексы у коэффициента δ_ik указывают на номера эпюр, которые надо перемножить при его вычислении, или номера внутренних силовых факторов, которые надо подставить в интеграл Мора.

6. Решается система канонических уравнений и определяются величины искомых силовых факторов X₁, X₂, X₃,...X_n.

7. Определяются окончательные значения внутренних силовых факторов в сечениях эквивалентной системы суммированием их значений от каждой из нагрузок в отдельности:

,

(12.8)

где F_S - искомый силовой фактор - изгибающий или крутящий момент, нормальная или перерезывающая сила в рассматриваемом сечении; F_P - аналогичный силовой фактор от одной только внешней нагрузки; F_i - аналогичный силовой фактор от единичного усилия, приложенного вместо X_i.

При построении суммарных эпюр силовых факторов (изгибающих и крутящих моментов и т. д.) их ординаты находятся алгебраическим суммированием ординат ранее построенных эпюр тех же факторов от заданных нагрузок и единичных эпюр, увеличенных в X_i раз.

Можно поступить и иначе, а именно, заменить в эквивалентной системе неизвестные X_i их вычисленными значениями и определять внутренние силовые факторы в сечениях этой системы одновременно от заданной нагрузки и усилий X_i.

Очевидно, что окончательные результаты расчета не зависят от выбора основной и эквивалентной системы, так как все системы, эквивалентные данной, эквивалентны и между собой.

Рассмотрим несколько примеров раскрытия статической неопределимости плоских рам.