Логика высказываний, или пропозициональная логика -

раздел дедуктивной логики, в котором вопрос об истинности (или ложности) высказываний (т. е. суждений, рассматриваемых без их субъектно-предикатной структуры) в умозаключениях рассматривается на основе изучения следующего средства их выражения — т. н. элементарных (далее не разлагаемых и не анализируемых) высказываний с помощью логических операций.

Первые исследования в этом направлении начались еще в античности, в большей степени они принадлежат школе ранних стоиков (Хрисипп, III в. до н. э.). В рамках Schullogik эта тема представлена рассмотрением выводов из т. н. сложных суждений (сложным называется суждение, в состав которого входят другие суждения). Современный вид она стала приобретать благодаря работам прежде всего Дж. Буля, а также А. Моргана, Ч. Пирса, Э. Шредера и др. Дальнейшее ее оформление связано с творчеством Г. Фреге, Б. Рассела, Д. Гильберта, Л. Витгенштейна и др.

Л. в., входящая в основание других логических теорий (таких как логика "Редикатов, модальная логика), является вводной частью, своеобразными пролегоменами всей математической логики, поэтому ее представление предваряет изложение логики предикатов (следует Учесть, что нотационные соглашения, т. е. названия и обозначения, в различных зданиях варьируются).

В основе алфавита языка Л. в. лежит непустое счетное множество атомарных формул Фо. Атомарные формулы выражают элементарные высказывания и обозначаются а, Ь, с ... Кроме того, алфавит содержит логические связки (союзы, операторы), выражающие логические операции. В ряду основных логических связок выделяют унарную связку “отрицание” — обозначается значком —ι (читается “не-”) и бинарные связки: “конъюнкция” — & (“и”), “дизъюнкция” — ? (“или”), “импликация” — -> (“если..., то...”), “эквивалентность” — <-> (“..., если и только если...”), “строгая дизъюнкция” — <-> (“либо..., либо...”). Логические операции носят соответствующие

связкам названия.

Л. в. располагает синтаксической категорией формул. Множество формул обозначается — Ф, а сами формулы — А, В, С... Эффективная процедура, позволяющая определить, является ли данное выражение правильно построенной формулой Л. в., характеризуется следующими пунктами: a) Фо с Ф, т. е. все атомарные формулы есть формулы; b) Если А и В формулы, то (-.А), (А & В), (? ν Β), (А -> В), (А <-> В), (А <-> В) тоже формулы; c) Больше никаких правильно построенных формул Л. в., кроме указанных в пунктах а) и Ь), нет.

Исследование свойств таких формул и способов установления их истинности является основной задачей Л. в. Существует два подхода к построению данной теории: алгебра высказываний и исчисление высказываний.

Алгебра высказываний, или по-другому — истинно-функциональная логика, рассматривает логические формулы как алгебраические выражения, которые можно преобразовывать по определенным правилам. Буквы, обозначающие формулы, здесь играют роль пропозициональных переменных (аргументов), а логические связки — роль пропозициональных констант, или истинностных функторов, поскольку они определены через функции с областью значений —

 

==451