29

Основные понятия физики полупроводников.

Волновая природа электрона. В настоящее время электроника имеет дело с двумя элементарными частицами-волнами – электроном и фотоном. Их волновые свойства проявляются в процессах интерференции и дифракции, наблюдаемых экспериментально. Свойства их как частиц проявляются в процессах взаимодействия с веществом (трек на фотоэмульсии, фотоэффект, эффект Комптона). Согласно гипотезе Де-Бройля электрону (и вообще любой частице) соответствует волна, для которой выполняются соотношения, установленные Эйнштейном для фотона:

,

где Е – полная (релятивистская) энергия электрона, р – его импульс, k и  - волновое число и частота волны.

Уравнение Шредингера. При волновом движении происходит периодическое ограниченное в пределах амплитуды волны перемещение вещества или периодическое изменение напряженности какого-нибудь поля. В случае электрона материальная природа волны не определена. Теоретически волновая природа электрона выражается в том, что его движение описывается волновым уравнением Шредингера. В стационарном случае оно записывается следующим образом:

(1)

Здесь Е – полная энергия электрона, V – потенциальная энергия.

Квадрат модуля волновой функции при соответствующей нормировке равен вероятности нахождения электрона в рассматриваемой точке пространства (или вероятности реализации других динамических переменных, от которых может зависеть функция, например, момент импульса). На волновую функцию накладываются условия, следующие из ее физической природы. Она должна быть непрерывной, однозначной, непрерывной должна быть и ее первая производная. При этих условиях уравнение обычно имеет решение не при любых значениях энергии электрона Е, а только при ее определенных значениях. Точно также дискретными значениями могут обладать другие динамические переменные: импульс, момент импульса, проекции момента импульса.

Электрон помимо момента импульса, связанного с движением (аналогом вращения по орбите) обладает собственным моментом импульса – спином. Т.е. он проявляет свойство похожее на вращение твердого тела вокруг собственной оси.

Фундаментальные свойства электрона, связанные с его квантовой природой, проявляются в принципах запрета Паули и неопределенности Гейзенберга. Эти принципы не имеют классических аналогов.

Принцип Паули, или принцип запрета является фундаментальным законом природы, согласно которому две тождественные частицы с полуцелым спином (в единицах ) не могут одновременно находиться в одном состоянии.

Соотношение неопределённостей, или принцип неопределённости – фундаментальное положение квантовой теории, утверждающее, что у квантовой частицы некоторые ее динамические переменные, например, ее координаты и импульс, одновременно не могут принимать (быть измеренными) определённые, точные значения. Количественная формулировка принципа неопределенности может быть выражена следующим образом. Если x — неопределённость значения координаты х, а p_x — неопределённость проекции импульса на ось х, то произведение этих неопределённостей должно быть по порядку величины не меньше постоянной Планка, то есть

(2)

Аналогичное соотношение выполняется для энергии частицы и временем жизни электрона в состоянии с данной энергией:

Строение атома. Во многих случаях возможно упрощенное описание поведения электронов на основе классических представлений. Одним из таких представлений является планетарная модель атома Резерфорда.

Планетарная модель схематически показана на рис.1. В центре расположено положительно заряженное ядро, отрицательно заряженные электроны вращаются вокруг ядра по круговым или эллипсоидальным орбитам. Заряды ядра и электронов по модулю одинаковы, поэтому атом электронейтрален. При поглощении электронами внешней энергии происходит перемещение электрона на более высокую орбиту (увеличивается число п), или, при энергии большей потенциала ионизации, разрываются валентные связи, и происходит ионизация атома. Этот процесс проиллюстрирован правым рисунком 1.

Как известно, планетарная модель противоречит законам электродинамики, согласно которым электрон, двигающийся с ускорением (в данном случае – центростремительным) должен излучать электромагнитные волны и терять энергию. Поэтому объяснение всех особенностей строения атома возможно только в рамках квантовой механики. Ниже будет дано объяснение числам п, т, s и l, представленным на рисунке.

Рис.1. Планетарная модель атома. На левом рисунке показаны квантовые числа, определяющие состояние электрона. На правом рисунке показан процесс ионизации.

Согласно выводам квантовой механики электрон, находящийся в потенциальной яме, создаваемой положительным зарядом ядра, может обладать только определенными дискретными значениями энергии. Это легко понять, вспомнив, что электрон обладает волновыми свойствами. При отражении электронной волны от потенциального барьера, создаваемого положительно заряженным ядром, она складывается с падающей волной, и образуется стоячая волна. Очевидно, стоячая волна может существовать, только если целое число полуволн укладывается на ширине потенциальной ямы. Поскольку энергия электрона однозначно связана с длиной его волны (1), отсюда следует ограничение, как на длину волны, так и на энергию.

Это явление проще всего описать в рамках модельной задачи поведения электрона в потенциальной яме с бесконечными стенками.

Рассмотрим движение частицы в потенциале, который определяется следующим образом:

(1)

Такая конфигурация называется потенциальной ямой.

Для того чтобы определить поведение частицы в яме, необходимо записать уравнение Шредингера, подставив в него выражение для потенциальной энергии (1). Как видно, уравнение разбивается на три части: для двух областей вне ямы и внутри ее. Поскольку вне ямы частица находиться не может (потенциалы на границах бесконечные), ее волновая функция там равна 0. Из условия непрерывности она равна 0 и в точках x=0, x=l.

Это требование служит граничным условием для решения уравнения Шредингера внутри ямы. В области 0 < x < l уравнение Шредингера для стационарных состояний (2.7) имеет вид (U(х) = 0):

(3.2)

Его решением является функция:

где (3)

А и  - константы. А – амплитуда, которая может быть найдена из условия , поскольку полная вероятность найти частицу где-нибудь в яме равна1.

Используем теперь граничные условия: . Следствием первого условия будет 0. Второе условие дает

, (4)

где n – любое целое число. Из этого, учитывая выражение для энергии (3) получаем возможные значения энергии:

(5)

Таким образом, как было отмечено выше, условия, накладываемые на волновую функцию, приводят к появлению собственных значений параметра E_n (в данном случае - энергии) и собственных функций, соответствующих каждому собственному значению.

Обозначение электронной конфигурации атома. Дискретный набор энергий электронов, связанных с колебаниями в поле ядра в атоме нумеруют. Натуральное число n – номер, определяющий значение энергии, называется главным квантовым числом. Кроме этого, электрон вращается по орбите (в представлении классической модели). С этим движением связано определенное значение его момента импульса. Момент импульса электрона l также имеет дискретные значения.

(3)

Дискретные значения принимает и проекция момента импульса m_z на произвольную ось . Число l называется азимутальным квантовым числом. Оно вместе с главным квантовым числом n определяет полную энергию электрона в атоме. Совокупность чисел п и l называют электронной оболочкой.

Число m называется магнитным квантовым числом. Если внешнее магнитное поле отсутствует, энергия электрона с разными магнитными числами одна и та же. Независимость энергии от квантового числа называется вырождением.

Электрон обладает собственным моментом импульса (как волчок). Его значение определяется выражением . В случае электрона спиновое число (или спин) принимает значения ± ½. Вращение электрона, т.е. существование у него спина, приводит к существованию у него магнитного момента.

Согласно принципу запрета Паули в атоме нет электронов с одинаковым набором квантовых чисел.

Пример обозначения электронной конфигурации. Для обозначения электронной конфигурации атома записывают главное квантовое число, после него пишут значение орбитального квантового числа. Для того, чтобы не было путаницы значение орбитального числа записывают буквами, соответственно, начиная с нуля, s, p, d, f, g, h. Число электронов, находящихся на данной оболочке обозначают в виде степени.

Например, электронная конфигурация кремния записывается следующим образом:

1s²2s²2p⁶3s²3p²

Зонная энергетическая диаграмма твердого тела.

В твердом теле дискретные электронные уровни, характерные для изолированного атома расширяются и превращаются в энергетические зоны. В пределах такой зоны энергия электрона может изменяться непрерывно.

Для расчета зонной структуры твердого тела применяется два метода. Сущность метода сильной связи представлена на рис.2. При использовании этого метода предполагается известной энергетическая структура изолированного атома. Влияние соседних атомов рассматривается как возмущение и учитывается соответствующими методами квантовой механики. На рисунке в правой части диаграммы показана структура уровней изолированного атома натрия. Сближение атомов приводит к смещению положения уровня и его уширению, что. Учет влияния многих атомов приводит к показанной на рисунке картине. По мере уменьшения расстояния между атомами узкие уровни энергии начинают уширяться. В первую очередь это происходит с уровнем 3р, наиболее удаленным от ядра, а затем с уровнем 3s. При расстоянии равном постоянной решетки (расстоянию между атомами в кристалле) d уширение настолько велико, что зоны, в которые превратились атомные уровни, перекрываются. Уширение более близких к ядру уровней проявляется только при меньших расстояниях между атомами.

Важно отметить, что при сближении атомов волновые функции электронов для состояния 3р соседних атомов перекрываются, т.е. электрон имеет возможность переходить от одного атома к другому. Таким образом, можно считать, что эти электроны обобществляются, т.е. становятся свободными. Этим обеспечивается высокая электрическая проводимость натрия (и металлов вообще).

рис. 2. Превращение уровней энергии атома натрия в энергетические зоны.

В случае неметалла происходит подобный процесс, но расстояние между атомами не обеспечивает перекрытия расширенных уровней (на рисунке условно показано это расстояние d_д). Между ними остается энергетическая щель, которая называется запрещенной зоной. Поскольку в этом случае волновые функции электронов практически не перекрыты, электроны не имеют возможности перемещаться от атома к атому, и такое вещество является диэлектриком. Говорят, что в этом случае все электроны находятся в валентной зоне. Для того чтобы получить возможность перемещения, электрон должен преодолеть запрещенную зону и попасть в зону проводимости, в которой волновые функции электронов соседних атомов перекрываются.

Обычно энергию, необходимую для перехода из валентной зоны в зону проводимости, электрон получает за счет тепла. При этом если ширина запрещенной зоны большая, энергии теплового движения электронов будет недостаточно для перехода, и такое вещество (при комнатной температуре) является диэлектриком. Если же ширина запрещенной зоны такова, что заметная часть электронов имеет возможность перейти в зону проводимости, такое вещество называют полупроводником.

Второй метод расчета – метод слабой связи – менее нагляден, но более прост в осуществлении. Рассмотрим его на примере модели Кронига-Пенни. Реальный периодический потенциал сложной формы в этой модели заменяется набором прямоугольных потенциальных ям одинакового размера, расположенных на одинаковом расстоянии друг от друга. Вид потенциала показан на рис.3.

Уравнение Шредингера (1.3) для рассматриваемого здесь одномерного случая можно записать следующим образом :

. (1.90).

Волновая функция для свободного электрона представляет плоскую волну, пространственная часть которой в стационарном случае имеет вид . При движении в периодическом потенциальном поле следует учесть два обстоятельства. Первое – связь модуля волнового вектора k с энергией Е не выражается здесь простой формулой(1.44), или (1.61), которую мы рассматривали выше ( ), а должна быть определена из решения задачи, поскольку движение электрона не свободно. Второе – естественно предположить, что амплитуда плоской волны С периодически изменяется в пространстве с периодом равным периоду структуры,. Такой вид волновой функции электрона называется функцией Блоха.

. (1.91)

Рис.3. Вид потенциала Кронига-Пенни.

Подставляя волновую функцию (1.91) в уравнение Шредингера (1.90), получим два уравнения – для области ямы и для области барьера:

(1.92)

Введем обозначения:

(1.93)

и запишем решение уравнений (1.92) в общем виде:

(1.94)

Теперь необходимо записать условия непрерывности для функции U_1,2(х) и ее производной U’_1,2(x) в точках разрыва потенциала, т.е. в точках x = a и x = a+b. В результате получится линейная система четырех уравнений, из которой можно определить коэффициенты A_1,2, и B_1,2. Условием существования нетривиального решения однородной системы (в которой все правые части уравнений равны нулю) является равенство нулю главного определителя системы, что приводит к уравнению

. (1.95)

Полученное уравнение связывает энергию электрона Е, которая входит в выражения для  и , с его волновым вектором k. (Уравнение, связывающее энергию волны с ее волновым вектором называется дисперсионным).

Рис. 4. Зависимость функции правой части уравнения () от параметра Е. (Значения всех параметров произвольны и взяты из соображений наглядности)

С лева в формуле (1.95) стоит косинус, который не может быть больше единицы. Вид функции, стоящей в правой части уравнения (), показан на рис.4. При некоторых значениях аргумента (энергии Е) значения функции y(E), стоящей в правой части уравнения (1.95) превышают единицу, и значит при этих значениях аргумента решение уравнения (1.95) отсутствует. Разрешенными оказываются только те значения аргумента Е, при которых функция меньше единицы. Этот пример наглядно демонстрирует образование разрешенных и запрещенных зон энергии при движении электрона в периодическом поле.

Эффективная масса электрона

Важной задачей является расчет движения электронов под действием внешних полей. В случае твердого тела внешнее поле суммируется с внутренними периодическими полями ионов кристаллической решетки, и задача многократно усложняется по сравнению с задачей расчета движения электрона во внешнем поле. Можно упростить расчет и учитывать только одно внешнее поле, а влияние периодического поля учесть введением эффективной массы электрона, которую можно рассчитать один раз для данного полупроводника. Эффективная масса зависит в общем случае от импульса электрона и от направления его движения в кристалле. На рис. показаны зависимости энергии, скорости и эффективной массы электрона от его волнового вектора (импульса).

Физическая причина изменения массы электрона и сложной зависимости его энергии от импульса состоит в волновой природе электрона. При движении электрона в периодическом поле кристалла электронные волны, отраженные от потенциальных барьеров ионов, складываются с соответствующими фазами, что приводит к эффектам, не свойственным классическому случаю. В частности приложение внешней силы, которая в классическом случае ускоряет электрон, приводит к сокращению его длины волны, и интерференция упомянутых отраженных волн может привести к обратному движению суммарной волны. В этом случае эффективная масса электрона оказывается отрицательной.

Зависимость кинетической энергии электрона от импульса, которая в классическом случае выражается известной формулой , в случае движения электрона по кристаллу не может быть выражена аналитически.

Обычно представляет интерес области параметров с минимальной энергией, поскольку большая часть электронов сосредоточена именно там. В случае таких полупроводников как кремний или германий минимальная энергия электрона в зоне проводимости соответствует ненулевому значению импульса. Такие полупроводники называются непрямозонными. Если минимум приходится на нулевое значение импульса полупроводник называется прямозонным. Типичный случай GaAs. Возможны случаи, когда на кривой зависимости энергии электрона от импульса имеются два минимума, несколько отличающиеся по энергии. Такие полупроводники называются двух долинными. Соответственно области называют нижней (с меньшей энергией) и верхней (с большей энергией) долинами.

Зонная энергетическая диаграмма собственного полупроводника

Обычно изображается часть рисунка 4, соответствующая расстоянию d_д, которая называется энергетической диаграммой. Уровень Е_с называется дном зоны проводимости, а уровень Е_v – потолком валентной зоны.

Рис. 5. Схематическое изображение кристаллической решетки кремния и процесса ионизации собственного атома. На правом рисунке изображен процесс ионизации (образования свободного электрона и дырки) на энергетической диаграмме.

Полупроводники, в которых отсутствуют примеси, называют чистыми или собственными, их параметры обозначают индексом i.При ионизации атома собственного полупроводника, т.е. отрыве и уходе электрона, на его месте остается нескомпенсированный положительный заряд иона. Этот заряд можно рассматривать как квазичастицу, которая называется дыркой.

1). И электрон и дырка называются свободными носителями.

2). Процесс образования электрона и дырки при поглощении внешней энергии называется генерацией электронно-дырочных пар.

Концентрация электронов в собственном полупроводнике равна концентрации дырок n_i = p_i, где n_i – концентрация электронов, p_i – концентрация дырок.

Электрон и дырка отличаются по свойствам. Электрон движется сквозь кристаллическую решетку вещества (по энергии – в зоне проводимости). Движение дырки сопровождается разрывом и восстановлением валентных связей электронов (по энергии – в валентной зоне). Поэтому дырка имеет значительно меньшую подвижность, чем электрон.

В условиях термодинамического равновесия в собственном (беспримесном) полупроводнике концентрация электронов и дырок определяется двумя противоположными процессами: тепловой генерацией и рекомбинацией. Рекомбинации соответствует переход электрона из зоны проводимости на незанятый энергетический уровень валентной зоны. При этом электрон и дырка исчезают как свободные носители зарядов.

Примесные полупроводники. Электрическая проводимость полупроводников весьма чувствительна даже к ничтожным количествам примесей, содержащихся в них. Так введение в кремний всего лишь 0.001% бора увеличивает его проводимость при комнатной температуре примерно в 1000 раз.

Проводимость полупроводников, обусловленная примесями, называется примесной проводимостью, а сами полупроводники примесными полупроводниками.

Донорный (электронный) полупроводник. Для выяснения механизма действия примесей на проводимость полупроводников рассмотрим влияние 5-валентного мышьяка и 3-валентного индия на свойства германия. Германий имеет решетку типа алмаза, в которой каждый атом окружен 4 ближайшими соседями, связанными с ним валентными силами (рис. 3). Предположим, что часть атомов германия замещена атомами 5-валентного мышьяка. Для установления связи с четырьмя ближайшими соседями атом мышьяка расходует 4 валентных электрона(рис. 5,а). Пятый электрон в образовании связей не участвует. Он продолжает двигаться вокруг атома мышьяка. Вследствие того, что диэлектрическая проницаемость германия =16, сила притяжения электрона к ядру уменьшается, а размеры его орбиты увеличиваются в 16 раз; энергия связи электрона с атомом уменьшается в 256 раз и становится равной ∆ эв. При сообщении электрону такой энергии он отрывается от атома и приобретает способность свободно перемещаться в решетке германия, превращаясь таким образом в электрон проводимости (рис. 5, б).

Так как энергия возбуждения электронов примесных уровней ∆Е_d почти на 2 порядка меньше энергии возбуждения собственных электронов германия ∆E_D, то при нагревании ионизуются в первую очередь электроны примесных атомов, вследствие чего их концентрация может во много раз превысить концентрацию собственных электронов. В этих условиях германий будет обладать в основном примесной электронной проводимостью. Примеси, являющиеся источниками электронов проводимости, называются донорами, а энергетические уровни этих примесей – донорными уровнями.

Рис.6 Атомы пятивалентного мышьяка в решетке германия:

а – замещение атомов германия атомами мышьяка; б – отщепление «лишнего» электрона от атома мышьяка; в – энергетическая схема германия, содержащего примесь мышьяка; I –валентная зона; II - зона проводимости; D – донорные уровни мышьяка; ∆Е₀ – энергия запрещенной зоны германия: ∆ –энергия активации примесной (электронной) проводимости.

При переходе донорного электрона в зону проводимости дырка не образуется (ион донора не является свободным носителем). Условие сохранения заряда можно записать в виде:

n_n = N_d + p_n

где: n_n – концентрация основных носителей (электронов);р_n – концентрация неосновных носителей (дырок); N_d – концентрация ионов примеси.

Акцепторный (дырочный) полупроводник. Предположим теперь, что в решетке германия часть атомов германия замещена атомами трехвалентного индия (рис. 7,а). Для образования связей с 4 ближайшими соседями у атома индия не хватает 1 электрона. Его можно заимствовать у атома германия (акцептора). Акцепторный атом при этом превращается в отрицательный ион.

Расчет показывает, что для этого требуется затрата энергии порядка ∆E_d = 0.015 эв. Разорванная связь (дырка) (рис. 7,б) не остается локализованной, а перемещается в решетке германия как свободный положительный заряд +е. На рис. 7,в показаны энергетические зоны германия, содержащего примесь индия.

В полупроводнике р-типа концентрация дырок (основных носителей) в равновесном состоянии значительно превышает концентрацию электронов (неосновных). Ион акцепторной примеси заряжен отрицательно и не является свободным носителем. Основные носители – дырки.

Рис. 7. Атомы трехвалентного индия в решетке германия:

а– замещение атомов германия атомами индия; б – присоединение электрона атомом индия и образование дырки: в –энергетическая схема германия, содержащего примесь индия; ∆ – энергия активации примесной (дырочной) проводимости

p_p = n_p+N_a (обозначения по аналогии с донорным п/п)

N_пр= 10¹² – 10²³ см^-3 – пределы ввода примеси в полупроводник; при N_пр > 10¹⁹–10²³ см^-3 полупроводник называется вырожденным.

Уровень Ферми. Вследствие взаимодействия между собой, с атомами и теплового движения электроны обладают энергией. Чем больше энергия электрона, тем меньше вероятность встретить такой электрон (быстрых электронов мало). Вероятность того, что энергия электрона имеет значение E, определяется статистическим распределением. В физике полупроводников используют распределение Больцмана и распределение Ферми - Дирака. Распределение Больцмана справедливо для классического случая.

Его можно применять в случаях, когда квантовые эффекты не выражены. При необходимости учета квантовой природы материи (например, в случае вырожденных полупроводников) приходится использовать распределение Ферми – Дирака.

Здесь Е – энергия электрона, kT – температура в энергетических единицах (эВ).  - называется энергией Ферми, или уровнем Ферми. Видно, что, если E = , под экспонентой стоит 0, экспонента равна 1, и вероятность найти электрон с такой энергией равна 0.5. При увеличении энергии экспонента очень быстро возрастает, поэтому концентрация электронов с энергией выше энергии Ферми быстро падает. При энергиях электрона много больших температуры распределение Ферми – Дирака переходит в распределение Больцмана.

В собственном полупроводнике уровень Ферми располагается в середине запрещенной зоны (см. рис.8) В донорном полупроводнике уровень Ферми сдвигается вверх, а в акцепторном – вниз. В вырожденных полупроводниках уровень Ферми расположен в зоне проводимости или в валентной зоне.

В состоянии термодинамического равновесия уровень Ферми имеет одно значение во всех частях рассматриваемой системы (энергия Ферми – химический термодинамический потенциал).

Рис. 8. Энергетическая диаграмма собственного полупроводника. Уровень Ферми расположен в середине запрещенной зоны, что обеспечивает симметричное расположение вероятностей относительно уровня 0.5. Это обеспечивает равенство концентраций электронов и дырок.

Рис.9. В донорном полупроводнике концентрация электронов значительно превышает концентрацию дырок.

Рис. 10. В акцепторном полупроводнике концентрация дырок больше, чем концентрация электронов.

В любом случае выполняется соотношение n_рp_р = n_np_n = n_i²

Концентрация носителей в собственном и примесном полупроводнике. Концентрация электронов в собственном полупроводнике определяется формулой:

,

где Е_с – энергия дна зоны проводимости,  – энергия Ферми, m_e^* – эффективная масса электрона, ħ – постоянная Планка.

Эта формула получается, если умножить концентрацию разрешенных уровней энергии в зоне проводимости на вероятность того, что электрон обладает соответствующей энергией – т.е. на распределение Ферми – и проинтегрировать по всем энергиям в диапазоне от Е_с до бесконечности.

Напомним, что в случае набора одиночных атомов, например в газе, или плазме состояние электрона определяется набором квантовых чисел. Однако некоторые квантовые числа могут не влиять на его энергию. В этом случае в атоме оказывается несколько электронов, имеющих одну и ту же энергию. Это обстоятельство выражается статистическим весом этого состояния g_n – числом состояний с одной и той же энергией. Вероятность иметь энергию Е в классическом случае определяется распределением Больцмана, плотность электронов в состоянии с этой энергией определяется выражением:

(2)

В случае кристалла плотность уровней в зоне проводимости очень велика, так что они сливаются и можно говорить только о плотности состояний. Плотность состояний электронов, имеющих модуль импульса р можно определить следующим образом: Возьмем единичный объем в обычном пространстве. В пространстве импульсов электроны, имеющие модуль импульса р занимают объем . Всего в этой сфере может быть число состояний (каждый свободный электрон в силу запрета Паули занимает в фазовом пространстве ячейку объемом ). В каждой ячейке может находиться два электрона с разным направлением спинов. Таким образом, полное число электронных уровней в объеме сферического слоя пространства импульсов равняется

(3)

Поскольку в обычном пространстве мы взяли единичный объем, эта величина является плотностью электронных уровней.

Учитывая, что

(4)

(5)

Примем за нулевой уровень отсчета кинетической энергии электронов дно зоны проводимости. Выделим около этого дна узкий интервал dE, заключенный между Е и Е+dЕ. Так как электроны проводимости, заполняющие уровни, расположенные у дна зоны проводимости, подчиняются статистике Ферми–Дирака, то плотность электронов с энергией в интервале определяется формулой ():

(6)

( –эффективная масса электрона); dn представляет собой число электронов, энергия которых заключена в интервале dЕ между E и E+dE; f_ф – функция Ферми–Дирака.

Чтобы определить полную плотность электронов, нужно вычислить интеграл:

(7)

Поскольку функция Ферми очень быстро убывает, верхний предел интегрирования можно положить равным бесконечности вместо верхнего значения энергии зоны проводимости. Подставляя (5) и (6) в (7) и интегрируя, при условии

(F – E_c) > 2kT, (7')

когда в распределении Ферми можно пренебречь единицей, получим:

(8)

Полупроводник, для которого выполняется условие (7'), называется невырожденным, и вырожденным в противоположном случае.

Для дырок, действуя совершенно аналогично, получим:

(9)

Представим наглядно, что было проделано:

Для собственного полупроводника имеем: n = p; отсюда:

(10)

Это уравнение и определяет положение уровня Ферма в собственных полупроводниках. При

Определим концентрацию носителей в собственном полупроводнике:

(11)

Выражение np = n_i справедливо не только в собственном полупроводнике, а всегда. Т.е. np = n_np_n = n_pp_p Отсюда концентрации неосновных носителей заряда:

(12)