Влияние концентрации на положение уровня Ферми.

Положение уровня Ферми при введении примесей можно определить из условия электронейтральности:

(13)

(14)

(15)

Плотность ионов примеси найдем из следующих соображений. Вероятность нахождения электрона на уровне Е_д

(16)

Вероятность того, что электрона не будет на этом уровне, т.е. вероятность ионизации:

(17)

Концентрация ионов:

(18)

Подставляя выражения (14), (15) и (18) в (13) получим трансцендентное уравнение, из которого можно найти уровень Ферми. Если полупроводник невырожденный и единицей в распределении Ферми можно пренебречь, то, считая, что все электроны получаются при ионизации примеси, т.е. пренебрегая собственной ионизацией, получим аналогично (10):

Положение уровня Ферми определяется выражением ()

(19)

На рис.9 показан температурный ход концентрации для двух полупровоников с разной шириной запрещенной зоны. У полупроводника с меньшей шириной запрещенной зоны наблюдается более быстрое увеличение концентрации электронов при повышении температуры.

В случае примесного полупроводника вначале происходит ионизация примеси. Поскольку потенциал ионизации примеси гораздо ниже потенциала ионизации собственного полупроводника, этот процесс начинается при низких температурах Т <T1. При первой характеристической температуре практически все атомы примеси ионизованы, и дальнейшее увеличение температуры не приводит к существенному росту концентрации.

Рис.11. Изменение концентрации электронов собственных полупроводниках с разной шириной запрещенной зоны

Рис.12. Зависимость концентрации электронов в примесном полупроводнике от температуры.

При достижении второй характеристической температуры Т2 начинается ионизация собственных атомов полупроводника. Это снова вызывает рост концентрации электронов. Диапазон Т1 – Т2 называется рабочим диапазоном.

Обратимся к формуле (19). При низкой температуре, близкой к 0 уровень Ферми лежит между уровнем энергией донорного уровня и дном зоны проводимости. (В случае акцепторной примеси – между уровнем акцептора и потолком валентной зоны).

При повышении температуры приходится учесть ионизацию собственных атомов полупроводника. Этот эффект приводит к опусканию уровня Ферми и при больших температурах, когда концентрация электронов за счет собственной ионизации начнет превышать примесную уровень расположится посередине запрещенной зоны.

Таким образом, можно условно выделить две характерные температуры, которые находятся из условия практически полной ионизации примеси, и началом резкой ионизации собственных атомов. Диапазон между этими двумя температурами является рабочим диапазоном для данного полупроводника.

(18)

Положим истощение донора при N_d⁺= 0.9N_d . Находим F. Подставляем в выражение для n. Получим:

(20)

Точно также, полагая n = 1.1N_d получим Т₂.

Движение свободных носителей.

Тепловое движение. При отсутствии внешних воздействий свободные носители движутся хаотически и средняя скорость теплового движения равна:

При комнатной температуре скорость электрона более 100км/с. При тепловом движении электроны сталкиваются друг с другом и с атомами. Путь, который они в среднем проходят между столкновениями называется средней длиной свободного пробега. Среднее время между столкновениями называется временем свободного пробега.

При хаотическом тепловом движении электрический ток отсутствует.

Дрейфовое движение. Под действием внешнего электрического поля электрон в период времени между столкновениями приобретает некоторую скорость в направлении вектора электрического поля. Столкновения приводят к изменению скорости и энергии электрона, что ограничивает скорость в направлении поля. Направленное движение свободных носителей под действием внешнего электрического поля называется дрейфом.

Скорость дрейфа определяется выражением:

 называется подвижностью. Подвижность зависит от температуры, концентрации примесей и напряженности поля.

Зависимость от температуры и концентрации. Зависимость обусловлена различными механизмами рассеяния электронов. При высоких концентрациях примеси и низких температурах рассеяние происходит в основном за счет кулоновских столкновений с ионами примеси. (Столкновения электронов между собой не приводят к изменению подвижности, а фононов при низкой температуре мало). В этом случае повышение температуры ведет к повышению скорости, и электроны слабее взаимодействуют с ионами т.к. уменьшается время взаимодействия. При более высоких температурах и при малой концентрации примесей взаимодействие происходит с колебаниями решетки – фононами. Число фононов увеличивается с повышением температуры и подвижность падает.

рис. 13. Зависимость подвижности электронов от температуры в кремнии

Зависимость скорости дрейфа от величины внешнего электрического поля. При увеличении скорости электроны начинают возбуждать колебания решетки (акустические фононы). Обмен энергией с решеткой приводит к разогреву электронного газа, что в свою очередь вызывает уменьшение длины свободного пробега и ограничивает нарастание скорости дрейфа при увеличении напряженности поля. Процесс разогрева и ограничения скорости начинается при достижении критической напряженности. При этом скорость дрейфа порядка тепловой скорости электронов. Начинается изменение подвижности.

При дальнейшем увеличении напряженности энергия электрона, приобретаемая на длине свободного пробега, полностью затрачивается на возбуждение колебаний решетки (оптического фонона). Скорость выходит на насыщение, подвижность обратно пропорциональна напряженности поля.

рис. 14. Зависимость скорости дрейфа от напряженности электрического поля в однодолинном и двухдолинном полупроводнике.

В случае двухдолинного полупроводника происходит более сложный процесс.

Рис. 15. Структура энергетических зон двухдолинного полупроводника.

Электропроводность полупроводника

Удельная электропроводность:

Учитывая зависимость концентрации носителей заряда в полупроводнике от температуры и зависимость подвижности, можно представить, как выглядит зависимость проводимости от температуры.

Рис. 16. Электрическая проводимость полупроводника

Диффузионное движение. Диффузия не связана с наличием полей и зарядом частиц. Она связана с тем, что энтропия равномерно распределенного вещества в пространстве больше энтропии при наличии градиентов. Диффузионное движение частиц по существу является тепловым движением с той особенностью, что не во всех направлениях частицы движутся с равной вероятностью.

Процесс диффузии описывается законом Фика, который выражает ту простую мысль, что плотность потока частиц пропорционален их градиенту (см. также стр.109). Рассмотрим одномерный случай. Обозначим число частиц пересекающих некоторую поверхность единичной площади в единицу времени, буквой J. Тогда:

(4.83)

где D – коэффициент диффузии. Умножив обе части уравнения на заряд частицы (электрона), получим выражение для плотности тока. Поскольку в полупроводниках ток переносится электронами и дырками, приходится рассматривать две составляющие диффузионного тока.

(4.84)

Как мы выяснили ранее, кроме диффузии заряженные частицы могут приобретать направленное движение под действием электрического поля. В этом случае зависимость составляющих плотности дрейфового тока от напряженности электрического поля имеют вид закона Ома:

(4.85)

Полная, суммарная плотность тока, очевидно, определяется выражениям:

(4.86)

Генерация и рекомбинация

Изменение концентрации электронов может вызываться различными причинами. Увеличение концентрации связано с процессом генерации электронов. Механизмы генерации могут быть разнообразны, но их сущность состоит в том, что электрон получает энергию, достаточную для преодоления запрещенной зоны и переходит из валентной зоны в зону проводимости. Энергия, необходимая для перехода, черпается из постороннего источника, и переход может происходить под действием света, радиации и др. В равновесном состоянии переход электронов происходит за счет тепловой энергии. В этом случае носители заряда также называются равновесными.

Изменение концентрации электронов в единицу времени определяется скоростью генерации g. Скорость генерации равна числу электронов, появляющихся в единице объема за единицу времени.

В условиях термодинамического равновесия одновременно с генерацией идет процесс рекомбинации. Скорость рекомбинации, т.е. число рекомбинировавших электрон-дырочных пар в единице объема за единицу времени, пропорциональна произведению концентраций носителей заряда. В равновесии скорость генерации равняется скорости рекомбинации.

(4.91)

Если на полупроводник действует источник генерации, то концентрации частиц будут отличаться от равновесных.

В обычных условиях протекает биполярная генерация зарядов, т.е. одновременно с рождением электрона появляется дырка. Таким образом:

(4.92)

причем .

При выключении источника генерации происходит уменьшение концентрации носителей зарядов, и она возвращается к равновесному значению. Очевидно, скорость уменьшения концентрации равна разности скорости рекомбинации и скорости тепловой генерации:

(4.93)

Подставим в выражение (4.93) значения неравновесной концентрации из формул (4.92) и учтем, что . В результате получим:

(4.94)

Введем обозначение

(4.95)

Эта величина называется временем жизни неравновесных носителей заряда. Уравнение (4.94) соответственно можно переписать в виде:

(4.96)

Решение этого уравнения:

(4.97)

При выключении источника генерации концентрация электронов и дырок возвращается к равновесному значению по экспоненциальному закону с характерным временем, равным времени жизни .

Диэлектрическая релаксация. Предположим, что полупроводник помещен во внешнее электрическое поле, которое вызвало направленное движение зарядов (дрейф). Очевидно, функция распределения электронов по скоростям в этом случае отличается от равновесной функции распределения. ( В направлении действия электрической силы скорость электронов в среднем больше, чем по другим направлениям). После выключения поля функция распределения трансформируется и приближается к равновесной. Это происходит по очевидной причине. Электроны, рассеиваясь в процессах взаимодействия друг с другом, с другими частицами и решеткой кристалла, "забывают" о том, что у них была направленная скорость.

После прекращения действия внешних вынуждающих факторов разность между неравновесной и равновесной функциями распределения уменьшается по экспоненциальному закону (аналогично (4.97)) с характерным временем релаксации _р. Время релаксации является характерным временем существования неравновесной функции распределения (иными словами, например, временем продолжения тока в полупроводнике после выключения напряжения).

Для установления равновесной функции распределения необходимо чтобы электрон испытал всего несколько столкновений с любыми центрами рассеяния. Для рекомбинации электрон должен встретиться с дыркой при благоприятных условиях для процесса. Поэтому время релаксации гораздо меньше времени жизни. Это приводит к тому, что свободные электроны и дырки, участвуя, например, в процессе диффузионного движения, за время жизни успевают пройти значительное расстояние от области с повышенной концентрацией.

Уравнение неразрывности. Запишем теперь уравнение неразрывности, которое является математическим выражением простого факта сохранения частиц.

Рассмотрим некоторый объем полупроводника с основаниями единичной площади и толщиной dx, через который протекает поток электронов или дырок (в принципе любых частиц). Для простоты рассмотрим одномерный случай, причем ось выберем в направлении потока.

В объеме происходит изменение числа частиц за счет их генерации, рекомбинации и вследствие того, что поток втекающих частиц может отличаеться от вытекающего потока. Поскольку разность потоков через выделенный тонкий слой dx.

(4.98)

изменение концентрации частиц, например, электронов в выделенном объеме будет:

(4.99)

Поток электронов удобнее выразить через плотность тока, умножив его на заряд электрона. Воспользовавшись также выражениями (4.84), (4.85) получим уравнение непрерывности для электронов и аналогичное выражение для дырок:

(4.100)

(4.101)

Пример использования уравнения. С помощью этих уравнений решаются многие задачи электроники. В качестве примера рассмотрим задачу о распределении неравновесных носителях заряда вдоль полупроводника, на одном конце которого внешним источником поддерживается постоянная, избыточная концентрация электронов. Будем рассматривать одномерный случай. Ось х направим вдоль полупроводника, а начало координат совместим с концом полупроводника, на котором поддерживается постоянный избыток электронов.

В стационарном случае (d/dt = 0), при отсутствии электрического поля (Е = 0) и генерации (g = 0) уравнение непрерывности (4.100) имеет вид:

(4.102)

Граничные условия выражают условия постановки задачи, а именно: в начале координат имеется постоянный избыток электронов n(0) по сравнению с равновесным значением n₀. Далеко от начала концентрация электронов не отличается от равновесной концентрации, т.е. n = 0

(4.103)

Решением этого уравнения будет:

(4.104)

Таким образом, концентрация избыточных зарядов (электронов) экспоненциально спадает к равновесному значению при удалении от источника неравновесности. Величина

(4.105)

имеющая размерность длины называется диффузионной длиной электронов. Она определяет характерное расстояние, на которое распространяются электроны в полупроводнике. Аналогично все делается и для дырок, для которых также существует своя диффузионная длина:

(4.106)